Ecos del futuro

Simplificando maneras de publicar

Uno se hace mayor y cada vez tiene menos tiempo (quizás menos ganas también) de dedicar muchas horas a elaborar entradas. Eso no significa que no esté produciendo algunos contenidos publicados en su mayoría en forma de hilos en mi perfil de Mastodon

Pueden seguirme allí, si les interesa sobre todo la información que aporto sobre la ciencia del cambio climático o, en su defecto, también en los hilos como anotaciones en SimpleNote que estoy reuniendo, volviendo un poco al estilo básico original de este blog con anotaciones/reflexiones en markdown.

También estoy coleccionando bastante material elaborado en Jupyterlab con modelos climáticos básicos y análisis de datos climáticos como continuación de la línea de trabajo del blog La ciencia de Svante Arrhenius que un día quizás me decida a empezar a publicar en QuartoClima

Resulta increíble que todavía este servicio de blogs siga vivo gracias a Víctor Ruíz. Paradójicamente, los servicios que mejor han sobrevivido con los años en la red tienden a ser (como wikipedia) servicios sencillos basados en antiguos estándares libres. Por eso, cuando decidí crear la nueva web, medité sobre un sistema que me permitiera trabajar en local y no depender de la existencia o no del servicio online donde decidiese alojar mi contenido. Mi blog elaborado con Quarto y mis anotaciones en Simplenote también responde a esos estándares.

También he vuelto a editar Wikipedia, quizás un lugar olvidado por muchos divulgadores de la ciencia donde podrían dejar un rastro a largo plazo y llegar no solo a sus contemporáneos sino a nuestros descendientes del futuro. La experiencia de estas tres décadas en la red me demuestran que todos esos servicios populares desaparecerán con mucho de su contenido en no demasiado años y no podemos dejar que todo esos intentos de divulgación se pierdan como lágrimas en la lluvia... aunque mucho de ese contenido quizás lo merezca.

Actualización 25/06/2024: he regresado a Joplin tras fijarme que Simplenote parece un proyecto en vías de abandono. Joplin permite sincronización de Nextcloud y he descubierto un plugin que me permite publicar las anotaciones utilizando Gist de Github.

Lo que el Principio de Bernoulli no explica

El Principio de Bernoulli se utiliza universalmente para introducir a los estudiantes en explicaciones confusas, simplificadas y a veces incluso falsas. Es un maravilloso ejemplo de la importancia de los detalles en ciencia.

El debate alcanza su punto álgido cuando se aplica a la explicación de la sustentación del ala de un avión, donde cada cual defiende la suya como si fuese la definitiva y rigurosa, cuando absolutamente todas ellas son simplificaciones para intentar hacer parecer comprensible aquello que sólo lo sería pasando por todos y cada uno de los detalles.

En esta entrada intentaré pasar por todos esos detalles (aunque de manera también simplificada) para mostrar dos cosas al lector:

1. Que las aplicaciones del principio de Bernoulli en muchas situaciones no se hacen correctamente, incluida en la sustentación del ala de un avión.

2. La razón que me llevará a seguir utilizando dicha simplificación para introducir a mis estudiantes en la dinámica de fluidos.

El Principio de Bernoulli suele formularse como el hecho de que, en un fluido en movimiento, la presión disminuye al aumentar su velocidad. Veamoslo con un sistema muy utilizado que, curiosamente, suele denominarse tubo de Venturi. Se trata de un tubo con un estrechamiento.

En el estrechamiento aumenta la velocidad del fluido y disminuye su presión. La idea está representada con el aumento de tamaño de burbujas de aire disueltas en el fluido. Vemos en la figura además las trayectorias de estas burbujas, que marcan lo que se conoce como líneas de flujo o corriente.

La causalidad parece darse en el siguiente orden: La continuidad del flujo obliga a que el caudal sea idéntico en todas las partes del tubo y por tanto debe cumplirse que

Se produce por tanto un aumento de velocidad en el estrechamiento.

La conservación de la energía del fluido implica la disminución de la presión con el aumento de velocidad. Si despreciamos los cambios de altura, la ecuación de Bernoulli suele expresarse como

¡Aumento de velocidad implica disminución de la presión!

Por supuesto nos estamos refiriendo a la presión interna del fluido P, conocida habitualmente como presión estática ―la que mediremos con un manómetro situado paralelamente a la corriente—.

Todos sabemos que, cuando un fluido se ve obligado a disminuir su velocidad debido a la presencia de un obstáculo, puede ejercer una enorme presión, resultante del cambio de momento experimentado. Es lo que se conoce como presión dinámica 1/2 ρ v², básicamente la energía cinética del fluido por unidad de volumen.

La mejor demostración de la diferencia de estos dos tipos de presión es un tubo de Pitot, dispositivo utilizado para medir la velocidad de un avión a partir de la diferencia de presiones.

Mientras que el tubo de cara a la corriente mide la suma de las presiones estática y dinámica, los tubos con agujeros exteriores miden sólo la presión estática. De la diferencia de presiones, puede deducirse entonces la velocidad del fluido.

La pregunta ahora es de dónde procede exactamente la ecuación de Bernoulli. Sería interesante trazar el rastro hasta las mismísimas ecuaciones de la dinámica. Fue el matemático Leonhard Euler el pionero en aplicar las leyes de Newton a la dinámica de fluidos.

La conservación de la energía nos dice que el trabajo realizado por la fuerza aplicada sobre el fluido debe ser igual al cambio de energía mecánica (ver sin embargo Bauman & Schwaneberg 1994). Esto cambia la causalidad intuitiva de que, en un tubo de Venturi, es el aumento de velocidad la causa de la disminución de presión. La causalidad ahora parece más adecuada a partir de la fuerza que obliga al fluido a cambiar de velocidad. O dicho de otro modo, primero es la diferencia de presiones y luego el cambio de velocidad.

Veamos cómo podemos deducir la ecuación de Bernoulli a partir de las leyes de la dinámica. Para ello asumamos un elemento de volumen de fluido de densidad ρ moviéndose en una trayectoria general a lo largo de una línea de corriente.

La masa del elemento de volumen de fluido será

La segunda ley de Newton puede expresarse como

Sustituyendo la expresión para la masa de fluido

Simplificando

Integrando apropiadamente

De donde obtenemos la ecuación de Bernoulli

Así, parece quedar claro que el el campo de presiones (la fuerza) es la causa del cambio de velocidades. También debería quedar claro que la ecuación de Bernoulli se aplica en una misma línea de corriente. Veamos un ejemplo de la aplicación laxa de esta condición y cómo lleva al primer malentendido común: mayor velocidad no siempre se relaciona con menor presión estática.

Supongamos un chorro de fluido a elevada velocidad dentro de un medio en reposo, tal y como el chorro de una manguera o un secador expulsando aire.

Las posiciones A y B están a la misma presión estática, de hecho a la presión atmosférica. Si no fuese así, las líneas de corriente se curvarían por el gradiente de presiones. Sin embargo, el fluido se está moviendo en la posición A y permanece estático en B. Vemos de esa manera tan sencilla que no podemos aplicar el principio mayor velocidad/menor presión, consecuencia de la ecuación de Bernoulli, a los puntos A y B, al no encontrarse en una misma línea de corriente.

La pregunta que se estará haciendo el lector es, ¿y qué ocurre con el resultado del famoso experimento de la pelota suspendida sobre un chorro de aire, típica de los museos de ciencia? Veamos lo que ocurre con la líneas de corriente en dicho caso

Vemos que las línea se curvan, algo que suele atribuirse a la viscosidad del fluido, una nueva cantidad que no forma parte de la ecuación de Bernoulli, aunque se pueda generalizar, para determinadas geometrías.

Esa tendencia de las líneas de corriente a “seguir” la forma del objeto es lo que se suele denominar efecto Coandă. La curvatura de las líneas de corriente implican un gradiente de presiones que, lógicamente, provoca que la presión disminuya hacia la pelota para que, de esta manera, sea coherente con su estabilidad frente a pequeños desplazamientos horizontales.

Veamos si podemos deducir este gradiente de presiones a partir de las leyes de la dinámica.

Ahora podemos expresar la fuerza centrípeta en la dirección r como

Sustituyendo de nuevo la masa como

Y simplificando

Como ejemplo sencillo fácilmente integrable, consideremos un cilindro con agua girando con velocidad angular 𝜔

Tendremos, en este caso

E integrando

Se trata de un experimento muy visual donde el incremento de la presión a medida que nos alejamos del eje de giro queda perfectamente medida por la altura del agua.

Igualando la diferencia de presiones con la presión hidrostática, tendremos

O dicho de otra manera, podremos observar la superficie del agua trazando una parábola con vértice en el eje de giro.

Deducimos de esta manera que el gradiente de presión aumenta con el radio de curvatura de las líneas de corriente, aumentando la presión a medida que nos alejamos de la pelota suspendida en el chorro de aire. Pero este fenómeno no es consecuencia de la ecuación de Bernoulli que, recordemos, se aplica sólo a lo largo de una línea de corriente.

La primera demostración que uno hace en clase como ejemplo aparentemente trivial del principio de Bernoulli es soplar sobre una hoja de papel. En la imagen la explicación clásica.

La explicación puede valer para quedarnos intelectualmente satisfechos, pero el Principio de Bernoulli no es la explicación coherente en este caso. Veamos una explicación más acorde con el gradiente de presiones provocado por la tendencia del aire a seguir la superficie de un objeto.

Observamos así que la presión por debajo de la hoja tiene que ser mayor que la atmosférica, mientras por encima tiene que ser menor.

Por supuesto, el lector tiene que quedarse con el hecho importante de que hemos asumido el efecto Coandă, por lo que en realidad no hemos explicado todo desde primeros principios. Digamos que la única manera de resolver completamente el problema sería utilizar las ecuaciones de Navier-Stokes, con las aproximaciones pertinentes, con lo que tampoco seríamos capaces de hacernos una imagen mental de los agentes causales, pero por lo menos estaríamos seguros de que el comportamiento del fluido se calcula correctamente a partir de los principio de la dinámica. ¡Calla y calcula!

Y eso que todavía no hemos siquiera introducido la turbulencia.

En otro ejemplo clásico de aplicación del Principio de Bernoulli, imaginemos ahora una brisa uniforme soplando sobre una colina de contorno suave, de tal manera que el flujo de aire se comporte como laminar.

Según hemos visto, la curvatura de las líneas de corriente se va haciendo más suave (mayor radio de curvatura) a medida que nos desplazamos en la dirección de B, lo que implica un gradiente de presiones que disminuye hacia lo alto de la colina. La curvatura de las líneas de corriente está invertida en las direcciones A y C por lo que la presión tiene que aumentar desde la presión atmosférica alejándonos en las direcciones A y C hasta la presión cercana a la superficie de la colina.

Sin embargo, basta que las superficies tengan bordes menos suaves para que se produzcan vórtices y el fluido entre en régimen turbulento.

En el caso de un tejado sometido a una fuerte viento, una imagen más apropiada que la presentada habitualmente en los libros de texto podría ser la de la derecha

Donde, a diferencia de en el caso de la colina suave, la baja presión se prolonga a partir del pico del tejado, reforzando la tensión sobre la superficie posterior y provocando una fuerza resultante responsable de la rotura de algunos tejados con vientos huracanados.

Esto no introduce de lleno en la eterno debate sobre la razón de la sustentación que producen las alas de un avión.

La explicación básica de nuevo suele ir de la siguiente guisa —al menos cuando se utiliza “correctamente”—:

El quid de la cuestión está en entender el origen del campo de velocidades y presiones del fluido alrededor del ala y quién es causa y quién efecto.

Por supuesto, sólo existe una explicación definitiva: soluciónense las ecuaciones de Navier-Stokes (en concreto las promediadas en Reynolds) para el perfil de ala. En ese sentido, la sustentación de una ala no tienen ningún misterio para la física y la ingeniería desde hace mucho años. La prueba de ello es que uno puede descargarse una aplicación móvil donde se simulan objetos en fluidos a partir de la resolución de estas ecuaciones.

La segunda ley de movimiento de Newton aplicada a un elemento fluido sin viscosidad conduce a las ecuaciones de Euler, un sistema de tres ecuaciones (una para cada dirección) no lineales en derivadas parciales de primer orden. Las variables dependientes en estas ecuaciones son las componentes de velocidad en las tres direcciones espaciales , la densidad y la presión del fluido. Para determinar estas cinco variables, necesitamos además dos ecuaciones más en forma de conservación de la masa y conservación de energía.

Si incluimos la viscosidad, tenemos las ecuaciones de Navier-Stokes. Pero las de Euler son mucho más manejables, así que un primer paso para simplificar lo casi inmanejable es intentar eliminar la viscosidad pero retener de alguna manera el efecto Coandă, es decir, la tendencia de las líneas de corriente a seguir el contorno de superficies suaves.

La simplificación más sencilla que cumple con estos requisitos y cuantifica las presiones alrededor del ala, resultando capaz de calcular cuantitativamente la sustentación, se conoce como teoría de perfil aerodinámico delgado. El efecto Coandă se recupera con una condición de contorno conocida como condición de Kutta, donde básicamente se obliga a las líneas de corriente a continuar suavemente a partir del borde de salida. Esto descarta las soluciones de la ecuaciones de Euler que no se corresponden con la situación estacionaria con sustentación

Esta teoría puede implementarse numéricamente para entender la circulación del fluido y su campo de velocidades y presiones alrededor del perfil de ala. El applet java de libre uso FoilSim, disponible en la página de aeronaútica de NASA, nos permite hacer todo tipo de experimentos al respecto.

Ya dedicamos una entrada en este blog a la utilización de este applet para desmontar la teoría del encuentro simultáneo de las masas de aire en el borde de salida y el comportamiento de un perfil simétrico con y sin ángulo de ataque.

Analicemos otra explicación común: la aplicación del tercer principio para entender la fuerza de sustentación como reacción al cambio de velocidad y dirección del aire que abandona el borde de salida con respecto al que entra por el borde de ataque.

Veamos la derivación de Newton de la deflección por una superficie inclinada de un fluido formado por partículas

El cambio de momento del fluido en la dirección vertical al chocar contra la superficie A será

Con el elemento de masa del fluido dm que puede expresarse como

cuya variación con respecto al tiempo será

La fuerza de reacción no será más que la variación del momento por unidad de tiempo

Vemos que este cálculo simple predice una fuerza de sustentación dependiente del cuadrado del ángulo de ataque. A diferencia de lo que muestra el resultado experimental, donde para pequeños ángulos (< ~10º) la relación es muy aproximadamente lineal.

De hecho, en ese régimen lineal, la teoría de perfil aerodinámico delgado no lo hace especialmente mal, con la siguiente predicción para la fuerza de sustentación (L)

Donde C_L es el coeficiente de sustentación, dado por

y c/l es la proporción entre la cuerda y la envergadura del ala, lo que respalda la conveniencia de alas delgadas de gran envergadura.

Podemos comprobar esta relación entre la sustentación y el ángulo de ataque en el simulador.

Existen, sin embargo, cierta argumentación (Waltham 1998, Auerbach 2000) que permite entender la sustentación como reacción al cambio de momento del fluido provocado por el ala hacia el suelo, en realidad una aplicación consistente de la segunda y tercera ley. La base es la utilización de la circulación del fluido alrededor del perfil (ver más abajo). Pero la superficie seleccionada para calcular la circulación es fundamentalmente arbitraria, con lo que no ha sido una explicación especialmente popular (ver McLean 2018)

La teoría de perfil aerodinámico delgado se aplican por supuesto a un fluido incompresible, sin viscosidad e irrotacional. Pero en dichas condiciones, no puede existir sustentación. La condición de Kutta --que “la naturaleza” implementa gracias a la viscosidad del fluido-- introduce una circulación alrededor del perfil de ala que induce la sustentación. Se busca con ello una solución estacionaria con sustentación, pero la manera de llegar hasta ahí es más complicada.

Cuando el fluido se mueve a baja velocidad (bajo número de Reynolds) tenemos una solución con un punto de estancamiento (velocidad nula del fluido) en el extradós tal y como se ve en (a) de la siguiente figura.

A medida que aumenta la velocidad, el aire no puede mantener el cambio de dirección tan pronunciado y se forma un vórtice inicial que tiende a separarse del perfil del ala. En las simulaciones numéricas utilizando las ecuaciones de Navier-Stokes, podemos ver esa generación del vórtice inicial

El vórtice introduce una circulación antihoraria, por lo que el teorema de conservación de la circulación (junto a los teoremas de Helmholtz) implica la creación de una nueva circulación horaria ligada al perfil de ala.

El teorema de Teorema de Kutta-Joukovski nos garantiza que la circulación de un fluido alrededor de un objeto produce sustentación. Para entenderlo de manera algo informal, fijémonos en la rotación de un objeto en un fluido, típicamente un cilindro.

La curvatura de las líneas de corriente ya indica la dirección del gradiente de presiones y, por tanto, la dirección y sentido de la fuerza de sustentación (elevación en la imagen)

Asumamos que el cilindro tiene una rotación lenta, de tal forma que si nos limitamos a una línea de corriente por arriba cercana a la superficie del cilindro, tendrá una velocidad v_∞+v_r. De la misma manera, una línea de corriente por abajo tendrá una velocidad v_∞-v_r. Podemos aplicar la ecuación de Bernoulli a una línea de corriente que pasa por la parte superior y a otra que pasa por la línea inferior. Como la velocidad y la presión, cuando nos alejamos del cilindro, tienden al mismo valor (v_∞ y P_∞ respectivamente),tenemos

Lo que además justifica el hecho de poder ¡aplicar el Principio de Bernoulli a las líneas de corriente por el extradós e intradós y relacionar las presiones estáticas respectivas!. Reordenando términos

La fuerza de sustentación será

donde consideramos que la sustentación actúa sobre la mitad de la superficie del cilindro de radio r y longitud L.

La cantidad en el segundo paréntesis final es lo que se conoce como circulación 𝛤, definida de manera general como

Por tanto, podemos expresar la sustentanción (L) por unidad de longitud como

resultado que generaliza el teorema de Kutta–Joukowski.

La teoría de perfil aerodinámico delgado procede de hacer una transformación conforme de la circulación del fluido en un cilindro a la circulación en un perfil de ala con una determinada cuerda y combadura, ajustando el valor de la circulación para que cumpla la condición de Kutta.

Como pueden ver, las cosas se complican hasta llegar al nivel de "calla y calcula" o mejor "calla y programa un modelo numérico". Así, que cuando tenga que explicar de nuevo el principio de Bernoulli a mis estudiantes de bachillerato, emplearé el método clásico, de tal manera que, cuando lleguemos a la sustentación, el diálogo podrá establecerse de la siguiente guisa:

¿Por qué un ala consigue sustentación?

Explicación Bernoulli (justificada aunque no se refiera a una misma línea de corriente): porque el aire se mueve más rápido por el extradós que por el intradós y por tanto se establece una diferencia de presiones.

¿Pero por qué el aire se mueve más rápido por el extradós?

Porque tiende a seguir la superficie del ala y se establece así un gradiente de presiones que tiende a disminuir hacia la superficie del extradós empujando al aire y aumentando su velocidad.

[Como se observa, la causalidad se puede utilizar en ambas direcciones: el movimiento del fluido crea un campo de presiones que establece el campo de velocidades... (ver McLean, D. (2018))]

¿Y por qué tiende a pegarse a la superficie del ala?

Explicamos cómo se produce el efecto Coandă (ver vídeo en el texto).

[Tenga en cuenta el lector que el efecto Coandă puede ser explicado sin necesidad de recurrir a la viscosidad del aire, aunque por supuesto, en última instancia, es consecuencia de ésta]

La principal moraleja de esta entrada es que la eterna polémica sobre el uso apropiado del principio de Bernoulli, el efecto Coandăo el tercer principio de la dinámica para explicar por qué vuela un avión es un debate de sordos. Podemos utilizar la explicación más conveniente para rebajar el nivel técnico y que el oyente lo entienda al nivel apropiado a sus conocimientos, que es lo que hacemos todo el rato al explicar la física. Siempre existirá un nivel de explicación más formal y más abstracto hasta alcanzar en última instancia el ¡calla y calcula!

Referencias

Babinsky, Holger 2003 How do wings work? Phys. Educ. 38 497

Eastwell, Peter Bernoulli? Perhaps, but What About Viscosity? The Science Education Review, 6 (1), 2007

Deshpande, M.D. & Sivapragasam, M. Reson (2017) How do wings generate lift? 1. Popular myths, what they mean and why they work 22: 61. https://doi.org/10.1007/s12045-017-0433-x

Deshpande, M.D. & Sivapragasam, M. Reson (2017) How do wings generate lift? 2. Myths, Approximate Theories and Why They All Work

Hewitt, Paul G. 2004 Bernoulli's Principle NTSA

McLean, D. (2018). Aerodynamic Lift, Part 1: The Science. The Physics Teacher, 56(8), 516–520. doi:10.1119/1.5064558

McLean, D. (2018). Aerodynamic Lift, Part 2: A Comprehensive Physical Explanation.
The Physics Teacher, 56(8), 521–524. doi:10.1119/1.5064559

Navinder Singh, K. Sasikumar Raja, P. Janardhan 2018 Clearing certain misconception in the common explanations of the aerodynamic lift preprint

Suarez, Álvaro et al 2017 Students’ conceptual difficulties in hydrodynamics Phys. Rev. Phys. Educ. Res. 13, 020132 DOI:https://doi.org/10.1103/PhysRevPhysEducRes.13.020132

Weltner, Klaus 2011 Misinterpretations of Bernoulli's Law University of Frankfurt

Frank M. White 2016 Fluid Mechanics. McGraw-Hill. 8th edition.

El calentamiento de un invernadero y las dificultades de la física básica

En 1901, el meteorólogo sueco, gran amigo de Arrhenius, Nils Gustaf Ekholm (1848 – 1923) publicó una explicación somera pero correcta del mecanismo de calentamiento de la atmósfera por gei. Sin embargo también introdujo la conocida analogía con un invernadero de jardinería. En sus propias palabras:

La atmósfera desempeña una parte muy importante de un doble carácter en cuanto a la temperatura de la superficie terrestre, de las cuales la primera fue apuntada por Fourier, mientras que la otra fue señalada por Tyndall. En primer lugar, la atmósfera puede actuar como el cristal de un invernadero, dejando pasar los rayos de luz del sol con relativa facilidad, y absorbiendo una gran parte de los rayos oscuros [infrarrojo] emitidos desde el suelo, y por tanto, aumentando la temperatura media de la superficie terrestre.

Seguir leyendo en La Ciencia de Svante Arrhenius

Eunice Newton Foote y los inicios de la ciencia del clima

El 19 de julio de 1848 se celebraba en Seneca Falls (New York) la primera convención sobre los derechos de la mujer. Asistieron unas 300 personas, entre hombres y mujeres. En el segundo día, el 20 de julio, 68 mujeres y 32 hombres aprobaron la Declaración de Sentimientos, un texto considerado como fundacional del feminismo en cuanto a movimiento social, e inspirado en la Declaración de Independencia de Estados Unidos.

...Seguir leyendo en Naukas.

Perihelio, eras glaciales y cambio cimático

El pasado 3 de enero la Tierra alcanzaba la mínima distancia al sol, punto de la órbita conocido como perihelio

Por supuesto, las representaciones elípticas de la órbita terrestre son una exageración visual de lo que sería más apropiadamente un círculo

Comparación a escala de un círculo de radio 1 unidad astronómica (ua) con la verdadera elipse de la órbita terretre.

El perihelio coincide muy aproximadamente con el solsticio de invierno, pero se trata solamente de una coincidencia temporal. El eje de rotación de la Tierra describe una circunferencia en un periodo de unos 26000 años. Es el conocido fenómeno de la precesión de los equinoccios.

La órbita de la Tierra también está sometida a su propio movimiento de precesión del perihelio provocada por la influencia gravitatoria de Júpiter y Saturno principalmente, con un periodo de unos 112000 años.

Ambos movimiento, se combinan para provocar un ciclo de traslación del perihelio con respecto a las estaciones con un periodo medio de unos 23000 años.

Ciclo aprox. de 20 mil años del movimiento relativo de las estaciones con respecto al perihelio. El ciclo varía entre 20 y 29 mil años con una media de 23 mil.

Esas variaciones orbitales podrían explicar parcialmente la razón del Óptimo Climático del Holoceno hace unos 6000 años. Hace diez mil años se alcanzaba un máximo de insolación en latitudes elevadas del hemisferio norte debido a que el verano se encontraría en parte de la órbita cercana al perihelio.

Esa situación empezó a cambiar de manera significativa hace unos 6000 años, donde el invierno empezaría a ocupar ese lugar, provocando una tendencia progresiva al enfriamiento que parece haberse encontrado en los indicadores de los últimos dos milenios

Anomalía de temperaturas en el Ártico deducidas a partir de varias series de indicadores (proxies). La tendencia de enfriamiento parece correlacionada con la disminución progresisva de la isolación a 65ºN(F). Science 04 Sep 2009: Vol. 325, Issue 5945, pp. 1236-1239 DOI: 10.1126/science.1173983

La periodicidad climática dominada por el ciclo de la precesión controló las variaciones climáticas varios millones de años antes de los últimos 3 millones aproximadamente. A partir de ese momento empezó a dominar un nuevo ciclo de 41000 años que iniciaría las grandes glaciaciones del hemisferio norte provocadas por las variaciones de la oblicuidad del eje de rotación entre unos 22 y 24,5º

Misteriosamente, pues todavía no estamos seguros de las causa, esos ciclos glaciales cambiaron a una periodicidad de cien mil años durante el último millón de años que ha provocado las últimas ocho glaciaciones.

Ciclos orbitales dominantes durante los últimos 10 millones de años. Las eras glaciales del Pleistoceno empezaron con el ciclo de oblicuidad como dominante pasando hace unos 850000 años a estar dominada por el ciclo de cien mil años. Fuente: John L. Brooke Climate Change and the Course of Global History Cambridge University Press 2014 .

El misterio procede de que, aunque las variaciones de la excentricidad de la órbita terrestre presentan una periodicidad de 100 mil años, la variación de insolación producida por este cambio es de mucho menor magnitud que la provocada por los otros movimientos orbitales de nuestro planeta.

La órbita de la Tierra permanece muy aproximadamente circular, con una excentricidad menor que 0,02 (actualmente de 0,0167)

Variación de la excentricidad de la órbita terrestre en el tiempo (banda negra) donde el cero de la escala representa el momento presente (2007).

Las variaciones de la insolación al cambiar la forma de la órbita se podrían producir por dos razones: por la diferencia de insolación entre el perihelio y el afelio, que aumenta a medida que la órbita se hace más elíptica y por la duración de las estaciones, menor para aquellas que coinciden cerca del perihelio, debido a la mayor velocidad de la Tierra en esa parte de la órbita.

Los tres ciclos de insolación provocados por los diferentes movimientos orbitales se conocen como Ciclos de Milankovitch y fueron descubiertos de manera pionera en la década de 1870 por el escocés James Croll. Los cáculos de Croll fueron perfeccionados independientemente en los años veinte del siglo pasado por el astrónomo serbio Milutin Milanković. Aunque lo cierto es que no existe una teoría consolidada del mecanismo que provoca la influencia de la insolación en los ciclos glaciales.

Los tres ciclos de insolación debido a movimientos orbitales investigados originalmente por Milutin MilankovićPrecesión(23k), Oblicuidad(41k) y Excentricidad(100k)

La tormenta perfecta en términos orbitales para un clima más cálido parece que se produciría en la coincidencia de un periodo de máxima excentricidad, elevada oblicuidad y un perihelio coincidente con el solsticio de verano. Pero lo cierto es que, como hemos visto, nos hallamos en condiciones menos extremas que nos llevarían a un ligero enfriamiento gradual sin el efecto del CO2 de las emisiones industriales.

Dicho de otra manera, debido al cambio químico, sin apenas precedentes geológicos, que nuestra civilización industrial está provocando la atmósfera, hemos evitado muy probablemente la próxima edad de hielo durante el próximo ciclo de cien mil años. El problema es que en muy poco tiempo (unas cuantas décadas) no sólo podríamos haber evitado tener varios kilómetros de hielo hasta Centro-Europa dentro de algunas decenas de milenios, sino que, si no hacemos nada para evitarlo, cambiaremos a otro régimen climático mucho más parecido al del Cretácico, cuando los dinosaurios dominaban La Tierra, mucho más tropical y con una temperatura media de varios grados por encima de la actual. Y sin llegar tan lejos, incluso, ya hemos abandonado el régimen estable de temperaturas (variaciones <1ºC) que nos acompañó durante todo el desarrollo de la civilización durante el holoceno.

¿Y a quién le importa lo que pase dentro de diez mil años? ¿No será además una bendición el haber evitado la próxima glaciación? Bueno, el problema es que en el interludio, el clima se irá volviendo cada día más extremo, con olas de calor, inundaciones, sequías, tormentas cada vez más frecuentes y más destructivas, entre otras muchas cosas. ¿Entienden ahora un poco mejor la importancia de los acuerdos de París?

Referencias

Edité un resumen con gran parte de las referencias relevantes en Wikipedia

Bartlein, P.J., Harrison, S.P., Brewer, S. et al. Pollen-based continental climate reconstructions at 6 and 21 ka: a global synthesis Clim Dyn (2011) 37: 775. http://dx.doi.org/10.1007/s00382-010-0904-1

Chris Colose. Milankovitch Cycles. Skeptical Science 2011

Darrell S. Kaufman et al. Recent Warming Reverses Long-Term Arctic Cooling. Science 04 Sep 2009: Vol. 325, Issue 5945, pp. 1236-1239 DOI: 10.1126/science.1173983

John L. Brooke Climate Change and the Course of Global History Cambridge University Press 2014

Peter Huybers Combined obliquity and precession pacing of late Pleistocene deglaciations Nature 480, 229–232 (08 December 2011) doi:10.1038/nature10626

El lío con la ecuación más famosa de la física

Esta entrada empezó a fraguarse después de leer un artículo en El Mundo donde Antonio Ruiz de Elvira intentaba explicar el significado de la ecuación más famosa de la física E = m c² y al que César Tomé calificó, con mucho acierto, de anti-divulgación.

El objetivo no es sin embargo competir por la explicación más sencilla, divulgativa y entretenida de la conocida ecuación. Ya eso se ha hecho hasta la saciedad y desde luego no es mi intención competir con la explicaciones de monstruos de la divulgación como Neil Tyson, Alan Guth, Brian Greene o Brian Cox

Al contrario, no pretendo tanto hacer divulgación en el sentido de hacer creer al lector que ha entendido algo, ocultando las complejidades, sino mostrarle lo importante que es atacar los conceptos desde diferentes perspectivas, incluyendo la histórica con el uso de fuentes originales.

Advertencia: habrá fórmulas, aunque limitadas a multiplicaciones, divisiones, cuadrados, raíces cuadradas y el teorema de Pitágoras. Sin embargo, trataré de que el lector pueda saltárselas a conveniencia y aún el texto pueda resultar legible e interesante… o al menos comprensible. Y para el lector que no quiera entrar en las complejidades, recordar las palabras de Richard Feynman: “Si no te gusta, vete a otra parte. Por ejemplo a otro universo donde las reglas sean más sencillas”.

Lo primero es lo primero: cómo utilizamos la ecuación

Sin pararnos ahora en el significado de las cosas, lo primero que tenemos que entender es qué representa cada uno de los símbolos.

E es energía y se mide en julios, aunque ciertamente sea una unidad muy poco utilizada. Todos estamos más familiarizados con la caloría o con el kwh por ejemplo. Los físicos de partículas en cambio prefieren el electronvoltio (eV) y suelen medir las masas de las partículas en esta unidad de energía, aprovechando precisamente la presunta equivalencia en la famosa ecuación

m es la masa, un concepto con una larga historia llena de contradicciones, algunas de las que jugarán un papel relevante en el significado último de esa m.

c es la velocidad de la luz y c² es, como estoy seguro que todo los lectores sabrán, el producto c × c. La velocidad de la luz es, redondeando, 300 millones de metros por segundo (3 × 10⁸ m/s) y su cuadrado 9 × 10¹⁶ m²/s² (o, equivalentemente, J/kg)

Se suele mostrar lo elevada de esa cifra calculando que un solo gramo de materia convertido totalmente en energía pueda generar 90 billones de julios (10⁻³ kg × 9 × 10¹⁶ J/kg = 9 × 10¹³ J) o, en números redondos, unos 20 kilotones, la energía generada por la explosión de Fat Man en Nagasaki.

La masa se convierte en energía

Vayamos con un ejemplo más interesante. El núcleo de nuestro Sol es un auténtico reactor nuclear de fusión donde se producen una serie de reacciones nucleares algo complicadas pero que se puede resumir en que cuatro núcleos de hidrógeno (protones) se convierten en un núcleo de helio (dos protones y dos neutrones)

Si nos vamos a la tabla periódica de los elementos, podemos observar que un átomo de helio pesa algo menos que cuatro átomo de hidrógeno, de hecho un 0,7% menos. ¿Qué ha ocurrido con esa masa desaparecida?

Recordemos de la secundaria que una unidad de masa atómica (uma) equivale a 1,66 × 10⁻²⁷ kg. El defecto de masa entre el helio y los cuatro hidrógenos es, mirando de nuevo la tabla periódica, 4 × 1.0079 - 4.0026 = 0,029 uma. Podemos convertir esa masa en energía utilizando de nuevo la famosa ecuación de Einstein

E = m c² = 0,029 uma × 1,6 10⁻²⁷ kg × 9 10¹⁶ J/kg ~ 4,43 10⁻¹² J ~ 26 MeV

Los físicos nucleares y de partículas dirían que el defecto de masa de esa serie de reacciones nucleares es de unos 26 MeV, que en realidad es una unidad de energía, no de masa. Ese es un ejemplo práctico del uso de la ecuación de Einstein.

Sabemos además que en un segundo el Sol emite unos 4 × 10²⁶ J de energía^[1]. Vamos a utilizar nuestra famosa ecuación para ver cuánta masa ha perdido el Sol en un solo segundo

m = E / c² = 4 10²⁶ / 9 10¹⁶ = 4 10⁹ kg

o, lo que es lo mismo, unos 4 mil millones de kg de masa pierde el Sol cada segundo debido a las reacciones de fusión que se producen en su núcleo. Alguien podría pensar que con esa cantidad de masa perdida nos podríamos quedar pronto sin nuestra estrella, pero, en términos relativos, se trata del equivalente para una persona de perder el peso de un virus cada segundo. De hecho, en ese tiempo, perdemos en torno a unas 10 células de la piel.

Como curiosidad, esos dos número que hemos calculado anteriormente le permitiría a cualquier alumno de bachillerato estimar de manera muy sencilla el flujo de neutrinos solares. Puesto que en cada cadena protón-protón (como vemos en la figura anterior) se producen dos neutrinos, tendremos

2 × (4 × 10²⁶ J )/ (4,43 10⁻¹² J) ~ 2 10³⁸ neutrinos cada segundo

Ese número es enorme, pero no nos dice mucho. Si dividimos por la superficie de las esfera cuyo radio es una unidad astronómica (distancia Tierra-Sol) y la expresamos en cm, obtendremos el número de neutrinos que atraviesa cada cm² de nuestra piel por segundo

O en cifras que todos podamos entender, unos 70 mil millones de neutrinos. En números redondos, un billón de neutrinos han atravesado el dedo del lector mientras leía la frase anterior. ¡Y sin embargo lo complicada que resulta su detección!

En resumen, hemos visto que es posible convertir masa en energía en una cantidad dada por la ecuación de Einstein.

La energía también puede convertirse en masa

Sigamos investigando un poco más sobre lo que ocurre en las reacciones de fusión del Sol. Si cuatro protones se han convertido en un átomo de helio y un átomo de helio tiene dos protones y dos neutrones, ¡voilà!; por arte de magia dos protones han tenido por el camino que transmutarse en neutrones. Como se ve en la figura anterior de la cadena protón-protón, en esa reacción además se produce un positrón (antipartícula del electrón) y un neutrino. Se trata de una desintegración beta. Pero hay un problema. Esas tres partículas pesan más que la partículas original.

En el caso del Sol, cuando se produce la colisión de dos protones, se forma temporalmente un núcleo de Helio-2 (diprotón) que es altamente inestable. Habitualmente, este He-2 inestable vuelve a desintegrarse, produciendo de nuevo dos protones. Pero en una de cada 10²⁸ de estas colisiones, se produce un núcleo de Deuterio donde uno de los protones se transmuta en un neutrón a costa de la energía nuclear de ligadura. La desintegración beta de un protón en un neutrón necesita siempre producirse dentro de un núcleo atómico. Así, aparentemente, la energía también puede convertirse en masa: la segunda consecuencia de la ecuación de Einstein.

La energía cinética necesaria de las protones para que se produzca la reacción de fusión es del orden de 1 MeV. El núcleo del Sol se encuentra a unos 15 millones de grados y una presión de unas 300 mil millones de atmósferas, lo que parece suficiente temperatura y presión para agitar y juntar los protones para puedan superar la repulsión eléctrica mutua. Pero si hacemos el cálculo^[2] vemos que se queda corto con algo menos de una milésima de esa energía. ¿Cómo se produce entonces la reacción? La respuesta es que interviene un efecto cuántico conocido como efecto túnel que permite a las partículas con menor energía cinética de la necesaria para, desde el punto de vista clásico, penetrar una barrera de potencial, tener una cierta probabilidad cuántica de hacerlo.

La moraleja es que no sólo con la ecuación de Einstein podemos entender cómo brilla el Sol. Necesitamos también los efectos cuánticos. ¡Dios también juega a los dados en el interior de las estrellas!.

El lector más atento habrá notado cierta contradicción. Por un lado decíamos que el núcleo de helio pesa menos que los cuatro protones iniciales para luego afirmar que los componentes del núcleo de helio (dos protones y dos neutrones) pesan más que los cuatro protones iniciales. Algo se nos escapa. Y lo que se nos escapan son las fuerzas nucleares fuertes. La transmutación entre protones y neutrones está controlada por la fuerza nuclear débil. Pero la ligadura de estas partículas en el núcleo se comporta como una energía potencial negativa, es decir, de manera análoga a un objeto atrapado en un planeta que necesita una velocidad de escape para salir, que es en última instancia la que hace disminuir la masa del núcleo de helio con respecto a la suma de las masas en reposo de sus componentes. La energía del Sol procede en última instancia de la energía potencial de la interacción fuerte.

Pero en física siempre hay una última sutileza...

Decir que la masa se convierte en energía y la energía en masa es sólo una manera de mantenernos en nuestra zona de confort de la física clásica. No hay una diferencia esencial entre la conservación de la energía en una reacción química y una nuclear. Podemos intentar identificar la forma de la energía (cinética, eléctrica, nuclear, etc) y cómo cambia de unas formas a otras, pero lo cierto es que podemos llamar masa a la cantidad E/c² o podemos conformarnos con la masa en reposo. Y ésta sólo parece ser una cantidad (como masa en reposo) característica de partículas subatómicas simples, puesto que la masa por ejemplo del protón resulta esencialmente de la energía de ligadura de sus quarks contituyentes mediada por gluones.

La imagen que un físico nuclear tiene de un protón es más parecida a la siguiente, donde las espirales representan gluones (el mediador de la interacción nuclear fuerte), las esferas rojo-verdes emparejadas representan pares virtuales quark-antiquark y las esferas individuales los tres quarks de valencia que habitualmente se mencionan como componentes de un nucleón.

¿Son entonces energía y masa lo mismo?

La respuesta corta es un rotundo NO. Iremos más tarde con los matices. En realidad veremos que la entidad fundamental en relatividad es lo que se denomina energía-momento y no tanto la masa. Para intentar entender este aspecto, vamos a empezar con un caso más sencillo relacionado con la interacción de distancias y tiempos.

La dilatación del tiempo a través del intervalo

Si medimos el tiempo transcurrido entre dos eventos --como por ejemplo la emisión de un fotón en la fotosfera solar y su recepción en la superficie terrestre-- y medimos la distancia entre ambos eventos (la distancia al Sol en este caso), hay una cantidad muy importante en relatividad que denominamos intervalo, también denominado tiempo propio.

El intervalo es muy fácil de determinar. Como si se tratase de un simple análogo del teorema de Pitágoras, podemos utilizar un triángulo rectángulo para entenderlo

Aplicando el teorema de Pitágoras, tendremos

intervalo² = tiempo² - distancia²

Para ver que la formulita es sencilla de usar, los fotones emitidos por la superficie solar tardan algo más de 8 minutos en llegar desde el Sol a la Tierra recorriendo una distancia de unos 150 millones de km, aunque para hacer el cálculo mucho más sencillo podemos expresar esa distancia como 8 minutos-luz. Si sustituimos entonces con las unidades apropiadas

intervalo² = (8 min)² - (8 min-luz)² = 0

El intervalo es por tanto cero. Nuestro triángulo quedaría en ese caso algo así como

Es decir, un triańgulo totalmente aplastado y convertido en una línea horizontal, lo que sólo es un reflejo de que para un fotón --y para cualquier partícula que viaje a la velocidad de la luz-- se pueden utilizar distancias y tiempos como dos cantidades intercambiables que difieren sólo en un cambio de unidades dado por la velocidad de la luz.

Distancia = velocidad de la luz × tiempo

Y sin embargo a nadie se le ocurriría decir en general que la distancia y el tiempo son la misma cosa, aunque precisamente la teoría de la Relatividad nos mostraras que son dos cantidades íntimamente relacionadas.

Cuando medimos dos eventos que se producen en el mismo lugar, la distancia es nula y el triángulo queda aplastado verticalmente se la siguiente forma:

Vemos que en ese caso el intervalo coincide con el tiempo y por eso se le denomina muchas veces tiempo propio.

El intervalo tiene una propiedad interesante. Es un invariante relativista. Esas dos palabras juntas significan que, a diferencia de nuestras medidas de tiempos y distancias, el intervalo no depende del estado de movimiento del observador que haga las mediciones. Podemos utilizar ese hecho para, de una manera muy sencilla, deducir la relación entre los intervalos de tiempo que mide un observador en reposo y otro que se mueve con cierta velocidad subido a un cohete.

Supongamos para ello que Estrella viaja en un cohete a velocidad v y que su gemela Consuelo se queda en tierra. Estrella mide el tiempo t para, por ejemplo, un latido de su corazón, el tiempo propio de cada latido. Consuelo sin embargo mide un tiempo T

Dibujemos ahora nuestro triángulo en unidades coherentes (segundos) tal y como lo haría Consuelo

Donde hemos sustituido en rojo el intervalo medido por Consuelo por el medido por Estrella (¡pues son iguales!) que es igual a su intervalo de tiempo t al estar quieta, desde su punto de vista.

Del triángulo anterior deducimos otro viejo conocido de todos los apasionados de la física; la dilatación del tiempo

Por ejemplo, si el cohete se mueve al 89% de la velocidad de la luz (v/c = 0,89), Consuelo medirá que los latidos del corazón de Estrella van la mitad de rápidos que los suyos (T = 2 t).

Advertencia al lector: aunque he utilizado dos gemelas, lo que estamos explicando es la dilatación del tiempo sin explicar detalladamente qué es lo que ocurre si Estrella regresa con su cohete a la Tierra, lo que se conoce como Paradoja de las gemelas.

Masa, momento y energía

La situación es exactamente análoga para las cantidades masa (invariante relativista análoga al intervalo), energía (análoga al tiempo) y momento lineal (análogo de la distancia). Recuerden de sus clases de secundaria que el momento no es más que una medida de la “cantidad de movimiento” de un objeto e igual, clásicamente, al producto de la masa por la velocidad. El momento es esa cantidad que hace preferible que tiren una pelota de ping pong a 60 km/h que chocar con un tren a tan solo 5 km/h.

En analogía con la definición de intervalo, podemos definir el siguiente triángulo rectángulo.

Y utilizando el teorema de Pitágoras, escribir la relación

Energia² = Masa² + Momento²

Si escribimos las unidades apropiadamente, necesitamos añadir un factor de conversión conveniente, que es alguna potencia adecuada de la velocidad de la luz.

Esa es la versión sofisticada de E = m c² que utilizan los frikis con un doctorado en física. Uno de los objetivos de esta entrada era llegar hasta aquí. Esa relación es mucho más general e interesante que la famosa ecuación de Einstein. La masa que aparece allí, al ser un invariante (justo como lo era el intervalo), tiene que corresponderse con la masa en reposo de la partícula en cuestión. De hecho, vemos que cuando una partícula está en reposo y el momento es cero, se reproduce la famosa relación de Einstein E = m c² . Pero ahora deberíamos entender que esa energía es la energía en reposo al igual que m se corresponde con la masa en reposo de la partícula.

Nuestra representación sería una línea vertical donde masa y energía son dos maneras de medir la misma cantidad y sólo difieren en un mero factor de conversión de unidades: el cuadrado de la velocidad de la luz.

Partículas sin masa en reposo

Pero mucho más interesante en esa ecuación es ver lo que ocurre cuando la masa en reposo es cero, como sucede con los fotones. Nuestro triángulo ahora se aplastaría sobre el cateto horizontal, lo que significa que su energía procede exclusivamente de su movimiento a la velocidad de la luz.

En este caso particular, energía y momento se comportan como dos aspectos de la misma cantidad que sólo difieren en la conversión de unidades con un factor constante, que es la velocidad de la luz de nuevo. La historia se repite.

Energía = velocidad de la luz × Momento

De nuevo, nadie diría que energía y momento son la misma cosa o equivalentes en general.

Dejemos que Minute Physics nos haga un pequeño resumen de esta última parte

Masa en reposo y masa relativista: la eterna polémica

Realicemos ahora un pequeño experimento mental actualizado análogo al realizado por Einstein en la deducción de su famosa ecuación. Imaginemos que nos vamos al LHC y observamos un evento muy infrecuente que es, después de hacer colisionar dos haces de protones de muy alta energía, la desintegración de un bosón de Higgs en dos fotones de radiación gamma [ver el magnífico vídeo de Rubén Lijo para presentar al bosón de Higgs]

En la imagen podemos ver todavía al bosón de Higgs inicial en el centro, que obviamente ya no está ahí después de su desintegración. Vamos a considerar el punto de vista de un observador que viese el bosón de Higgs inicialmente en reposo. Según los resultados experimentales la masa en reposo del Higgs está en unos 125 GeV, que es equivalente a la energía inicial de nuestro sistema. El momento es cero, puesto que el observador seleccionado ve el Higgs sin ningún movimiento.

Después de la desintegración tenemos dos fotones que se mueven en sentidos opuestos llevando la mitad de energía cada uno, puesto que la energía es una cantidad conservada. Como el momento también es otra cantidad conservada, tiene que ser cero. Eso significa, como habíamos visto, que cada fotón lleva un momento igual a su energía. A diferencia de la energía, el momento tiene dirección y sentido (es una magnitud vectorial) y se suma como tal. Dos momentos iguales en sentidos opuestos suman cero.

Nuestra regla del triángulo nos dice que debería existir una cantidad M igual a la suma de las energías de los dos fotones M = E/c² Esa cantidad M es lo que se ha denominado masa relativista. Pero piensen que en este caso es una cantidad distinta a lo que pensamos normalmente como masa. Es un número aplicado al sistema físico formado por los dos fotones. ¿Dónde se encuentra esa masa? Para darle cierta coherencia, algunos interpretan esa masa como masa en reposo de un punto situado en el centro geométrico de los dos fotones al que se suele denominar, por razones obvias, centro de masas.

El problema surge cuando deseamos aplicar esa noción de masa relativista a una sola partícula. Pensemos ahora en un solo fotón. Como obviamente contienen energía, podemos asignarle una cantidad E/c², que podríamos denominar masa relativista de un fotón. Pero tenemos que pensar que esa cantidad es diferente de la M anterior, pues no procede de la regla del triángulo --recordemos que para un fotón la regla del triángulo era una líneas horizontal con masa en reposo nula. Esa masa relativista aplicada a una partícula encima no es invariante, es decir, depende de la velocidad de la partícula. Así que parece ser una cantidad poco recomendable de manejar y de hecho los físicos de partículas suelen “condenar” su uso.

Pero entonces, ¿tiene o no tienen masa los fotones?

Einstein descubrió su famosa relación utilizando un ejemplo similar al de la desintegración del Higgs, comparando los puntos de vista de dos observadores, uno en reposo y otro en movimiento respecto al centro de masas. Sin embargo, Einstein tenía claro que se refería siempre a la masa inercial. Intuitivamente tendemos a asociar masa a un “trozo de algo” y la asociación de una masa a una partícula nos resulta natural. De hecho, la definición de masa que nos suelen dar en la química de secundaria es algo así como “cantidad de materia que contiene un objeto” y que Isaac Newton definió como el producto de la densidad por el volumen. La masa inercial, sin embargo tiene una definición muy concreta y no es más que la división entre momento y velocidad^[3]

M = p/v

Si queremos ser consecuentes con esa definición, es cuando surgen una gran cantidad de matices, como que el fotón tiene masa inercial coincidente con su masa relativista

M = p/c = E/c²

Uno de los atractivos de esa “masa” relativista es que nos podría hacer entender de manera natural, y desde un punto de vista newtoniano básico, el hecho que los fotones pesen. ¿Cómo sabemos que los fotones pesan, es decir, son atraídos por la gravedad? ¡La famosa medida de Eddington de la curvatura de la luz en el Eclipse de Sol de 1919! Sin embargo no hizo falta esperar a dicha medida. Einstein sabía, desde el punto de vista teórico, que tenía que suceder. Incluso en la teoría gravitatoria de Newton, los fotones, según nuestra nueva “masa” relativista tendrían que ser atraídos por la gravedad, aunque de manera distinta a como lo hace en Relatividad General.

El ángulo de desviación de la luz al pasar cerca de un cuerpo masivo es en la teoría general de la relatividad justo el doble que en la newtoniana. Fuente de la imagen

La clave del descubrimiento de Einstein y su predicción de la curvatura medida por Eddington es que la gravedad no atrae a la masa. Atrae a esa extraña entidad que hemos denominado energía-momento del fotón. Por tanto vemos que la masa inercial que coincide con la masa relativista también es la masa gravitatoria^[4], lo que parece señalar --aparentemente-- que estamos en la buena dirección^[5].

Si definimos para un partícula la masa relativista M = E/c², la regla del triángulo sería

M² = (E/c²)² = m² + (p/c)²

que como vemos, depende del momento y por tanto de la velocidad, --relación que puede deducirse de la anterior sustituyendo p = M v-- y que suele escribirse como

Este aumento de la masa con la velocidad ha sido utilizada en muchísimos libros, incluidos algunos de texto como el de las famosas Feynman Lectures. Hawking la utilizó en su famoso best-seller la historia de El Tiempo para explicar por qué un objeto con masa en reposo no puede jamás alcanzar la velocidad de la luz. Y el aspirante a crackpot Michio Kaku lo utiliza en el vídeo del tema musical que insertaba al comienzo de la entrada.

Einstein nos llama a capítulo

En una carta publicada por Einstein en 1948 y dirigida a Lincoln Barnett, matizaba

No es bueno para introducir el concepto de la masa M = m /(1-v²/c²)½ de un cuerpo en movimiento para el que no puede darse una definición clara. Es mejor no introducir otro concepto de masa que 'la masa en reposo' m. En lugar de la introducción de M, es mejor hablar de la expresión para el impulso y la energía de un cuerpo en movimiento ".

Bien, ese matiz no impidió al propio Einstein utilizar el concepto de masa relativista, pero lo hizo generalmente en el sentido de cantidad conservada en un sistema de partículas, tal y como hemos visto en el ejemplo de la desintegración del Higgs. La masa relativista de un sistema de partículas tiene las dos propiedades interesantes para un físico: es una cantidad conservada y es invariante, es decir, es igual antes y después de un cambio --como la desintegración del bosón de Higgs-- y es independiente del estado de movimiento del observador.

El origen de la masa

La física es un arte complejo, pues hace operacionales conceptos que proceden de nuestro intuición. Entendemos la masa como un trozo de algo pero la física nos ayuda a profundizar en teorías que nos enseñan generalmente cómo nuestra intuición sobre ese concepto iba desencaminada.

Hemos visto el jaleo montado con varios conceptos de masa: masa en reposo y masa relativista en la Relatividad Especial o como masa inercial y masa gravitatoria, estos últimos con nosotros desde Newton. Entender el papel de cada uno de esos conceptos y su interrelación y equivalencia es lo que nos ha llevado a entender mejor el funcionamiento del mundo.

La equivalencia entre masa inercial y gravitatoria llevó a Einstein a la Teoría General de la Relatividad. Curiosamente, en la TGR sobra el concepto de masa, que se sustituye por esa entidad que habíamos denominado energía-momento (algo así como nuestros triángulos). En determinada condiciones, sin embargo, puede identificarse la energía-momento con la única masa relevante, que es la masa gravitatoria activa, es decir, la que crea el campo gravitatorio o equivalentemente deforma el espacio-tiempo, como sucede por ejemplo con una estrella o un planeta. Las demás masas (pasivas) se mueven en trayectorias ya determinadas por la primera.

La equivalencia entre masa y energía nos ha llevado a entender mejor los procesos nucleares. Y de hecho ahora sabemos que, al menos parte de lo que intuimos como masa, es en realidad consecuencia de las energías puestas en juego en la interacciones. Sabemos la masa de los objetos cotidianos es debida los núcleos de los átomos que los forman. Esos núcleos están formados por protones y neutrones. Hemos visto, además, que la masa de un núcleo atómico es menor que la suma de las masas de los nucleones que los forman. Ese defecto de masa es debido a las fuerza nucleares, como explicábamos más arriba.

Pero sabemos, además, que los protones y neutrones están formados por quarks en un campo de gluones, partículas portadoras de la interacción entre quarks. Así, lo que denominamos la masa en reposo de un nucleón (protón o neutrón) es más de un 90% debida a la energía cinética de los quarks y gluones y a sus energías potenciales debido a la interacción nuclear fuerte (las cifras pueden diferir). [Ver este vídeo con una magnífica explicación]

Entender el origen de la masa tiene mucho que ver con entender la estructura de la materia y la física al nivel más fundamental. Así, después de su reciente descubrimiento, hemos oído como el bosón de Higgs ayuda a entender de dónde procede la masa de las partículas del Modelo Estándar, pero lo cierto es que no parece que soluciones el problema de entender de dónde procede toda la masa del propio Higgs. Tenemos además que podrían existir partículas más allá del Modelo Estándar. Por ejemplo, todavía no sabemos las partículas que forman la materia oscura y en último término no sabemos qué es la energía oscura y ni si está de alguna manera relacionada con el mecanismo de Higgs. Todavía queda un largo camino por recorrer, pero entender el origen de la ecuación más famosa de la física ha sido, sin duda, un enorme salto adelante en nuestra comprensión del origen de la masa.

Anotaciones

[1] No hace falta mucha sofisticación técnica para estimar la luminosidad solar. Se puede partir de nuestra medida de la constante solar de 1360 W/m² y multiplicar por la superficie de la esfera cuyo radio es la distancia Tierra-Sol. Queda como ejercicio para el lector.
[2] La energía media por partícula es del orden de kT donde k es a constante Boltzman y T la temperatura. Luego la energía media por partícula en el núcleo solar es de ~1,38 10⁻²³ J/K × 1.5 10⁷ K = 2,76 10⁻¹⁶ J ~ 2 keV
[3] La definición de Newton era circular, en el sentido de que para definir la densidad es necesario primero contar con una definición de masa. La definición que hago en el texto de masa inercial también lo es. Ha habido una discusión histórica que continúa hasta nuestros días de lo que sería una buena definición formal de masa [ver Max Jammer(1999) en las referencias]
[4] Que la masa inercial sea igual a la masa relativista puede sorprender a más de uno. Pero lo cierto es que si consideramos una caja de paredes completamente reflectantes donde ponemos un fotón, la masa inercial (y gravitatoria) de la caja aumenta según la masa relativista del fotón. Por supuesto, todo se trata de un juego de palabras. Cuando uno hace los cálculos no se preocupa de esos juegos de definiciones. ¡Calla y calcula!
[5] Para los puristas, como con todo este embrollo, estamos haciendo interpretaciones. A la hora de hacer los cálculos de la trayectoria de un fotón sólo hace falta seguir la regla de que su intervalo es nulo y aplicarlo a la métrica en cuestión, la solución de Schwarzschild en este caso.

Referencias

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Art Hobson Teaching E = mc2: Mass Without Mass The Physics Teacher 01/2005; 43:80-82. DOI: 10.1119/1.1855741

Baierlein, Ralph Teaching E=mc2: An exploration of some issues The Physics Teacher, Volume 29, Issue 3, pp. 170-175 (1991).

Baierlein, R. (2007), “Does nature convert mass into energy?” Am. J. Phys., 75(4): 320–325.

Carl G. Adler Does mass really depend on velocity, dad? Am. J. Phys. 55, 739 (1987); http://dx.doi.org/10.1119/1.15314

Ethan Siegel. Where Does The Mass Of A Proton Come From? Start with a Bang Forbes 2016

Ethan Siegel. The Sun's Energy Doesn't Come From Fusing Hydrogen Into Helium (Mostly) Start with a Bang Forbes 2017

Eugene Hecht An Historico-Critical Account of Potential Energy: Is PE Really Real? Phys. Teach. 41, 486 (2003); http://dx.doi.org/10.1119/1.1625210

Eugene Hecht Einstein on mass and energy American Journal of Physics, Volume 77, Issue 9, pp. 799-806 (2009). DOI: 10.1119/1.3160671

Eugene Hecht Einstein Never Approved of Relativistic Mass Phys. Teach. 47, 336 (2009); http://dx.doi.org/10.1119/1.3204111

Eugene Hech How Einstein confirmed E0=mc² Am. J. Phys. 79, 591 (2011); http://dx.doi.org/10.1119/1.3549223

Eugene Hecht There Is No Really Good Definition of Mass Phys. Teach. 44, 40 (2006); http://dx.doi.org/10.1119/1.2150758

Feynman Lectures on physics Ch.15

Frank Wilczek Origins of Mass

Matt Strassler [July 10, 2013] The Two Definitions of “Mass”, And Why I Use Only One

Max Jammer Concepts of Mass in Contemporary Physics and Philosophy, Princeton University Press, (1999).

Okun’ L. B., “The concept of mass”, Physics Today 42 (6), 31 (1989)

Okun’ L. B 2008 THE CONCEPT OF MASS IN THE EINSTEIN YEAR

Peter M. Brown On the concept of relativistic mass

Peter M. Brown A simple derivation of E = mc^2

R. I. Khrapko Rest mass or inertial mass?

Robert L. Lehrman, "Energy is not the ability to do work" Phys. Teach. 11, 15 (Jan. 1973)

Simon Rainville et al.A direct test of E=mc2 Nature 438, 1096-1097 (22 December 2005) | doi:10.1038/4381096a

The Equivalence of Mass and Energy Stanford Encyclopedia of Philosophy

The Inertia of Energy. Mathpages

T.R. Sandin, In defense of relativistic mass Am. J. Phys., 59(11), Nov. (1991)

What is relativistic mass. Physics FAQ

What is the mass of a photon? Physics FAQ

El oso polar famélico y la comunicación del cambio climático

La utilización de las imágenes de un oso polar famélico está causando un cierto flujo de comentarios en twitter sobre los que alguno denominan porno sentimental del clima.

Lo cierto es que el caso me recordó a un análogo humano, la foto de Kevin Carter de un niño sudanés que cae desfallecido por el hambre mientras es observado de cerca por un buitre, una de las más duras que se pueda contemplar y una historia que utilizamos en este mismo blog, aunque también fuese una historia parcialmente falseada.

Ese tipo de imágenes nos recuerda que nuestro mundo puede ser terrible. Y nosotros, bien por acción o bien por inacción, podemos compartir cierta responsabilidad. Respondemos de manera visceral a esa imágenes, pero no tanto a los datos.

Los datos sobre la situación del Ártico son terriblemente preocupantes.

La pregunta es, ¿cómo le haces llegar esa sensación de urgencia a la gente? ¿Le hablas sólo de modelos climáticos, de cambios del albedo, de corrientes termohalinas y de ecosistemas o les cuentas una historia sobre un icono del mundo animal como es el oso polar?

Ese debate no es sólo cuestión de opiniones, hay datos relevantes sobre las formas más efectivas de comunicar estas cosas. La utilización de esas imágenes es por supuesto muy discutible, pero lo más que me preocupa es que un efecto secundario de esa noticia haya significado cierta popularidad temporal de un negacionista patrio muy activo en la red que ha aprovechado el asunto para que su agenda llegue a más lectores, una estrategia de "siembra de duda" bien documentada en la bibliografía. Y me ha decepcionado lo difícil que parece para muchos divulgadores escépticos ser suficiente contundentes con la propaganda negacionista (asumo que por desconocimiento) cuando en otros temas como los efectos para la salud de las ondas electromagnéticas, los transgénicos o la homeopatía son radicalmente contundentes.

Y sí, el oso polar es una especie muy vulnerable al deshielo del Ártico, un hecho perfectamente documentado por los expertos. Pero el mensaje va más allá de nuestra debilidad por ese enorme, hermoso y peligroso animal. El deshielo del Ártico no es sólo un reto para la supervivencia del oso polar. Sus consecuencias lo serán para otras especies y sobre todo para los seres humanos; nuestras familias, nuestros hijos... Básicamente todo aquello que nos importa.

Referencias:

Sobre la situación de los osos polares, la mejor revisión bibliográfica en un post comprensible la hace Carbonbrief 20015.Polar bears and climate change: What does the science say?

Sobre la utilización que hacen los negacionistas de este tema para sus propósitos, tienen un buen artículo con revisión de la bibliografía en Bioscience 2017 Internet Blogs, Polar Bears, and Climate-Change Denial by Proxy

Sobre la utilización de historias como forma de concienciación también hay bibliografía académica: Communicating Climate Change: Are Stories Better than “Just the Facts”?

Para una revisión actualizada del estado del Ártico ver Arctic Report Card 2017 en NOAA.

El nuevo auto de Aquiles: El concepto de velocidad instantánea

Hace muchísimos años me dio por poner las palabras del gran Richard Feynman en boca de los personajes de los diálogos de Douglas Hofstadter en Gödel, Escher, Bach. Y este fue el resultado:

Aquiles y Doña Tortuga se dirigen al supermercado en el auto deportivo que se acaba de comprar Aquiles. Doña Tortuga quería probar el nuevo auto y Aquiles ha accedido gentilmente a dejarla conducir. Poco después de salir de casa los para un policía.

Policía: ¡Señora, usted iba a 100 kilómetros por hora!

Doña Tortuga: Eso es imposible, señor, he estado viajando sólo siete minutos. Es ridículo, ¿cómo puedo ir a 100 kilómetros por hora cuando no he viajado una hora?

Policía: ¡Cuénteselo usted al juez!

Aquiles: Pero... Doña Tortuga tiene razón. le juro señor policía que sólo hace siete minutos que salimos de casa. Mire, precisamente todavía tengo en la mano la factura del parking.

Policía (poniendo una expresión dudosa): Lo que quiero decir, señora, es esto: si usted siguiera yendo de la misma manera como iba ahora, en la hora siguiente habría recorrido 100 kilómetros.

Doña Tortuga: Bien, mi pie no estaba en el acelerador, y el auto estaba deteniéndose: así que si yo continuara yendo de esa manera no recorrería 100 kilómetros.

Aquiles: Y, en cualquier caso, si siguiera moviéndome de la manera como usted, señor agente,dice que lo estamos haciendo durante una hora más, ¡nos iríamos contra esa pared al final de la calle!

Policía (con ligeros síntomas de impaciencia): Mire, señora, su velocímetro marcaba 100 cuando pasó usted por el control.

Doña Tortuga: Precisamente le iba a comentar al señor Aquiles que el velocímetro no está funcionando con propiedad.

Aquiles: ¡No me diga usted eso! ¡Acabo de comprar este coche y ya tiene un fallo! Voy a demandar a esa empresa. Señor policía, puede usted tomar nota..."25 de julio de...".

Policía: ¡Eh!, no empiece con esa...que de la multa no se va a librar.

Doña Tortuga: Sí, señor Policía, pero tampoco cambie usted de tema. ¿Qué quiere usted decir con lo de los 100 kilómetros a la hora?

Policía (que ya empezaba a pensar en que todo esto era una tomadura de pelo): Sí, por supuesto, antes de andar una hora usted chocaría esa muralla, pero si anduviera un segundo, recorrería 28 metros; señora, usted iba a 28 metros por segundo y si siguiera andando, el próximo segundo estaría a 28 metros y la muralla está más lejos.

Doña Tortuga: ¡Sí, pero no hay ninguna ley que prohiba ir a 28 metros por segundo! Hay sólo una ley que prohibe ir a 100 kilómetros por hora.

Policía: Pero... es la misma cosa.

Doña Tortuga: ¿Cómo que es la misma cosa? Si fuera la misma cosa no habríamos entrado en toda esta discusión acerca de los 28 metros por segundo.

Policía: Mire, está acabando usted con mi paciencia. Ahora mismo me acompañan los dos al juzgado.

Horas más tarde, Doña Tortuga y Aquiles comparecen ante el Juez de Guardia.

Juez de Guardia: ¿Qué demonios es toda esa cháchara con lo de los 100 kilómetros por hora, los 28 metros por segundo y demás? No estoy dispuesto a aguantar toda esta pedantería.

Doña Tortuga: Perdóneme usted, señoría, pero el señor policía estaba afirmando que nuestra velocidad era de 28 metros por segundo, y no hay ninguna ley que prohiba ir a esa velocidad.

Juez de Guardia: Pero la ley es clara. En la vía donde usted se encontraba no se puede circular a 100 kilómetros por hora, y eso es lo mismo que los 28 metros por segundo.

Doña Tortuga: ¿Cómo?

Juez de Guardia: Mire, si usted prosiguiera 1/3600 de una hora andando a 100 kilómetros por hora habrá usted recorrido 1/3600 de 100 kilómetros. ¿De acuerdo?

Doña Tortuga: ¡Umm!, déjeme pensarlo un instante... umm... ¡sí, claro!

Juez de Guardia: Y eso son aproximadamente 28 metros.

Aquiles (sacando su contador automático de granos de arena): Es cierto, Doña Tortuga... ¡mire usted el resultado!

Doña Tortuga: Ahhh... y eso significa que he recorrido 28 metros en 1/3600 de una hora que es precisamente un segundo. ¡28 metros por segundo!

Juez de Guardia: ¿Por fin ha caído usted en la cuenta?

Doña Tortuga: Pero...

Juez de Guardia: Sí, ya sé que me va a decir usted que incluso durante ese segundo el coche estaba parando y por tanto que no podría ir a 28 metros por segundo, aún durante ese pequeño intervalo de tiempo.

Doña Tortuga: Reconozco que es usted muy agudo, señoría

Juez de Guardia: Efectivamente, nuestros agentes están dotados de los últimos medios técnicos. Y con ellos pueden tomar intervalos de tiempo realmente cortos, digamos una millonésima de segundo, y medir la distancia que ha recorrido un auto en ese pequeño instante.

Aquiles: ¿Cómo es eso?

Doña Tortuga: Si me permite, señoría, lo explicaré yo misma. En una millonésima de segundo, el sofisticado radar del agente le habrá indicado que el coche había recorrido 28 millonésimas de metro, es decir, 28 milésimas de milímetro. Así, que si multiplicamos por un millón ambas cantidades obtenemos los 28 metros por segundo. Y si multiplicamos ésta a su vez por 3600 obtenemos una suma de 100,000 metros recorridos en una hora, lo que nos lleva a los 100 kilómetros por hora de los que hablaba el señor agente.

Juez de Guardia: Efectivamente, eso es lo que indica el informe del radar. Así que ahora paguen su multa y váyanse a casa.

Aquiles: ¡Pues vaya faena! Todo esto para terminar pagando la multa.

Doña Tortuga (mientras salen de la sala del juzgado): Estimado amigo, mírelo de este modo. Hemos aprendido cómo se mide la velocidad instantánea.

Aquiles: ¿La velocidad qué?

Doña Tortuga: La velocidad instantánea. Fíjese, que no hace falta ir durante mucho tiempo a 100 kilómetro por hora para afirmar que en algún instante podemos llevar esa velocidad. El truco está en escoger una cantidad de tiempo lo más pequeña posible, de tal manera que el auto no se haya movido mucho durante esa pequeña fracción de tiempo. Esa es una idea hermosa y vale el precio que hemos pagado por la multa.

Aquiles: Sí, pero ahora conduciré yo... que ya me preocuparé de no alcanzar los 100 kilómetros por hora en ningún instante, por muy pequeño que usted decida elegirlo.

Ese insignificante e incomprendido CO2

En 1848, las exposiciones de ciencia recreativa hacían las delicias de un público victoriano fascinado por los avances científicos de la época. The Royal Polytechnic Institution —como se conocía en la época a la Universidad de Westminster— era famosa por sus “abominables olores” y “extrañas explosiones”. En la navidad de ese mismo año se unió a la institución el científico e inventor John Henry Pepper, que convertiría en memorables los espectáculos navideños celebrados a partir de entonces. Pepper era el análogo victoriano de nuestro Javier Panadero.

En la navidad de 1862 se representaría la quinta y última novela corta de Charles Dickens con motivo navideño, El Hechizado, utilizando una novedosa técnica de espejos inventada por Henry Dirck. Pepper escenificó así la fantasmagoría más realista de la época. Posteriormente a la primera representación, el gran Michael Faraday, que estaba allí como invitado, explicó la ciencia detrás de la ilusión de los espectros.

La novela de Dickens fue escrita en 1848 y el protagonista era un hombre versado en la química de la época. El personaje estuvo muy probablemente inspirado por una charla impartida por Faraday ese mismo año en otra institución que había inventado la divulgación de la ciencia en Navidad: la Royal Institution. Sus famosas Conferencias de Navidad para Jóvenes se venían impartiendo desde 1825, fundadas por el propio Michael Faraday...

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Cambio climático, olas de calor y consumo eléctrico

Con menos de 1ºC de aumento de la media global de temperatura, los días extremos de calor son 10 veces más frecuentes. No podemos atribuir con certeza la ola de calor actual al Cambio Climático, pero sí estamos seguros del aumento de la frecuencia de este tipo de eventos como consecuencia de las emisiones industriales de CO2.

La ola de calor ha provocado que este viernes se haya batido un nuevo récord de demanda eléctrica en el mes de junio. Se ha alcanzado un pico de 38.835 MW utilizados a las 13.24 horas, acercándose el record de los días más fríos de enero.

Debido a la sequía (consecuencia también de los efectos del cambio climático en la Península Ibérica), la hidroeléctrica apenas está disponible, la instalaciones de solar y eólica son demasiado escasas y ni siquiera la capacidad nuclear puede lidiar con el aumento de demanda. La consecuencia es que han entrado las térmicas de gas y carbón, disparándose las emisiones de CO2, con lo que entramos en un círculo vicioso del cambio climático: más calor, más aire acondicionado, mayores emisiones de CO2.

En EEUU se espera durante este fin de semana y la semana que viene una ola de calor récord en todo el suroeste del país. Y EEUU es uno de los mayores emisores de CO2 del planeta, por lo que ese círculo vicioso será más relevante aún.

La buena noticia es que estamos en el tercer año consecutivo sin aumento de las emisiones industriales mundiales de CO2 y el consumo de carbón ha entrado en números que indican su descenso futuro. El incremento de las energías libres de emisiones (nuclear, hidro, solar y eólica) ha cubierto la mitad del aumento de la demanda eléctrica.

La mala noticia es que los combustibles fósiles siguen cubriendo el 85% de la demanda eléctrica mundial, por lo que la imperiosa necesidad de llevar las emisiones de CO2 a cero alrededor de 2050 no parece ir a un ritmo adecuado.

Un datos esperanzador es que haya países en vías de desarrollo que no tienen la psicosis crónica de occidente con la energía nuclear. La India por ejemplo tiene prevista la conexión a la red de 10 reactores presurizados de agua pesada para 2022 que producirán (¡atención al dato!) el doble de energía que toda la capacidad renovable que ha instalado Alemania en lo que va de siglo. Y no es su única apuesta por el incremento de la capacidad nuclear. En occidente debería empezar a pitarnos los oídos cuando la mismísima Reina de Petróleo, Arabia Saudí, tiene prevista la construcción de 16 reactores para, junto a la solar, cubrir la mitad de la demanda en 2040, además de una flota de pequeños reactores para la desalinización de agua.

En España podríamos haber lidiado con el aumento de demanda de estos días con unos pocos reactores nucleares más en la flota, pero los ecologistas patrios parece que entre más carbón y más emisiones de CO2 o menos nuclear han decidido priorizar lo segundo a toda costa. Y repito que parece difícil al ritmo actual de (no) descenso de emisiones y aumento de capacidad renovable conseguir el objetivo de cero emisiones en torno a 2050. Gracias a AEMET, ni siquiera tenemos que imaginar los veranos de ese futuro no tan lejano.