Ecos del futuro

La respuesta es porque el punto de la circunferencia inferior gira y se desplaza, mientras que el de la circunferencia superior solamente gira. La física y las matemáticas coinciden, lo que no coincide es nuestra "intuición".

Pero es cierto, desde el punto de vista matemático, que hay una correspondencia uno a uno entre puntos de las dos ruedas y por tanto entre los segmentos. Pero las longitudes son distintas. ¿Cómo se traga eso?. Por eso decía lo de que las matemáticas son pura masturbación. Desde el punto de vista físico está claro.

No sé si es porque tenía desactivado el Javascript o porque están en moderación, pero por si acaso copio mis dos comentarios anteriores. Si es la moderación, que borre este comentario

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Defínase "recorrido del círculo". Lógicamente, al cabo de un número entero de vueltas, cada punto estará desplazado en el eje x 2·pi·(radio de la circunferencia que RDS*, en este caso la exterior), pero ello no quiere decir que ese punto haya recorrido esa distancia, puesto que el auténtico recorrido del punto es por la cicloide correspondiente (en la rueda que RDS) o la pseudo-cicloide correpondiente (las demás ruedas).

La clave de la ilusión es que parece que ambas ruedas giran sin deslizar, pero precisamente porque ambas circunferencias tienen distinto diámetro sólo es posible que una de ellas ruede sin deslizar, mientras que la otra tiene que deslizar. Es decir, en un mundo con rozamiento infinito, este conjunto no podría rodar, mientras que una rueda sola sí podría.

* "rueda sin deslizar", expresión clásica en exámenes sobre la física del sólido rígido.

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Pedro, pero que exista correspondencia uno-a-uno entre los puntos de dos segmentos no quiere decir que sean de la misma longitud, sólo que su cardinalidad es la misma (para el caso de cualquier segmento en el plano real, la misma que la de la recta real: http://en.wikipedia.org/wiki/Cardinality_of_the_continuum )

Es decir, cualquier curva en el plano real se puede parametrizar y hacer correspondiente uno-a-uno con otra cualquiera, vía el parámetro.

La paradoja matemática no es tal; el punto de la circunferencia interior no recorre todo el segmento sino que resbala.

Kartoffel tiene rarón. Aunque es más simple decirlo de la forma siguiente: Las ruedas hacen el mismo recorrido, sí, pero la rueda exterior gira "más deprisa" que la interior, simplemente, porque tiene mayor rádio.

Es exactamente el mismo efecto que se produce al poner una marcha larga en el coche o en la bici.

"Pedro, pero que exista correspondencia uno-a-uno entre los puntos de dos segmentos no quiere decir que sean de la misma longitud, sólo que su cardinalidad es la misma"

Exacto. Esa es la solución de la "paradoja" matemática. Hace ya muchos años que leí los discorsi y no recuerdo exactamente cuál era la propuesta de Galileo al respecto. Será interesante echarle un vistazo.

Para que lo entienda la peña, lo que estamos obteniendo es la proyección sobre la horizontal de las trayectorias de dos puntos, una de ellas coincide con la longitud de la circunferencia y es igual la huella dejada al rodar. Eso nos induce a pensar que la trayectoria de la circunferencia más pequeña hace lo mismo, pero en realidad es un efecto óptico.

Y como bien dicen si queremos verla rodar tendría que "derrapar".

Respuesta Ingenieril, supongamos una baca circular!!!

Me he equivocado...

Dos imágenes que pueden servir de ayuda. La trayectoria de un punto de la circunferencia del disco exterior describe una cicloide --probablemente la curva más interesante de la historia--

Pues para mí el ejemplo es precisamente un prueba de lo contrario a lo que decía Feynman. Si nos empeñamos es que sea una proporción directa, la biyección de los puntos sería un ejemplo más de que "La Física es a las Matemáticas lo que la masturbación es al sexo" :)

Pues creo que coincido con Lola.
A pesar de las palizas que daba - según el mismo, era su mejor publicista- Feynman a los matemáticos amigos, esto parece un ejemplo de lo contrario ( una riqueza inesperada en las ideas matemáticas)
Saludos

Hombre lo de la física de este problema es un aquí te pillo aquí te mato. Si los radios son diferentes y las distancias iguales, no queda otra que haya deslizamiento. Matemáticamente es más interesante el ejercicio, pero Feynman tampoco dice que la masturbación no sea a veces más gratificante que el sexo :)

Como curiosidad, esta científicamente comprobado que la masturbación es mucho más placentera que el una relación sexual con otra persona, a esto no hay vuelta que darle.

Interesante la paradoja, solo quiero comentar que, no se si sea por tratar de imponer una ciencia sobre otra que se hacen comentarios como los que se ha discutido, simplemente son ciencias que se dedican a cosas más o menos definidas y la importancia de la una sobre la otra no se puede dar como una verdad absoluta y tan alegremente, sino que la inclinación por una o por otra ya es una cuestión personal (que en el caso de Feynman está claramente expuesta); mismo en las Matemáticas, no creo que alguien pueda venir a decir que los algebristas están por encima de los geómetras y tenga el razones fundadas para sustentar lo que dice...

Saludos.

muy interesante la reflexion que has expuesto aqui y mucho mejor la forma en que lo ejemplificas con esa imagen!

Como ya ha dicho todo el mundo, una rueda gira sin deslizar mientras que la otra desliza, pero el dibujo que hay en tu comentario nº9 no se corresponde exactamente con la animación y eso despista un poco.
En el dibujo del comentario la rueda GRANDE gira sin deslizar, (cicloide), y es un punto interior, (que correspondería a un punto de la rueda pequeña), el que desliza.
Sin embargo en la animación es la rueda PEQUEÑA la que gira sin deslizar. Se ve perfectamente, sobre todo justo al principio del movimiento a la izquierda, como la rueda grande desliza, pues por unos instantes el punto inicialmente inferior va hacia atrás.
Por otro lado, desde que Cantor demostró que un segmento, la recta real, el plano, el espacio tridimensional o incluso R^n tienen todos la misma cardinalidad, (se pueden establecer aplicaciones biyectivas entre dos cualquiera de ellos), es trivial que exista correspondencia entre los puntos del círculo interior y exterior.
Hoy he descubierto tu blog y me lo estoy leyendo entero, me encanta, ánimos para continuar.

Hola, por si os interersa, os dejo este enlace a un bonito post del blog "El zombi de Schrödinger" que trata del tema de la rodadura sin deslizamiento.
http://cuantozombi.com/2013/03/15/rodando-voy/
Saludos

Buena entrada y buen blog Albert. Gracias por compartir.

las velocidades angulares de los dos circulos son iguales, mas si lo comvertimos en velocidades lineales son distintos, por lo que las lineas rojas representan el tiempo que ambos emplean en dar una vuelta.

Pero en si no dicen cual es la diferncia solo muestran el ejemplo y hablan de el pero se supone q la pregunta es la diferencia entre la fisica y la matematica

Hoy he visto publicado un vídeo de la Matemática Clara Grima en el que sale esta misma "paradoja de las ruedas de Aristóteles" Comparto el enlace, saludos:
http://www.cienciaxplora.com/divulgacion/enigma-monedas_2015012600042.html

Gracias Albert. Como sigo a Clara en el face, en g+ y twitter ya lo había visto.