Ecos del futuro

Me da que el 50%, aunque no sé expresarlo formalmente :-)

Yo supongo que la probabilidad de tener un hijo varón es del 50%, por lo tanto, la mitad de las parejas lo tendrán el primero y la otra mitad el segundo, después de haber tenido una niña. Esto quiere decir,que entre l@s tres hij@s que han tenido las dos priemras parejas, hay dos niños y una niña. Sólo un tercio de la población será femenina, la pornografía será mas escasa y cara, las posibilidades de ligar en la discoteca se reducirán notablemente y los nerds pajilleros dominarán la tierra. Es el problema mas triste que he visto en mi vida!

¿Ln(2)?

(Es decir, 7 de cada 10, como casi siempre que sale alguna noticia sobre alguna estadística)

"Es el problema mas triste que he visto en mi vida!"

Es cierto. Deberías intentar resolverlo intercambiando los sexos ;)

Por cierto, es un acertijo que me llamó la atención y después de pensarlo durante unos minutos, me da la sensación que tiene su miga. No conozco la solución, con lo que esta vez no juego con ventaja.

Vaya.

Por otra linea de razonamiento me ha salido 50%. Ahora tendré que ver si alguna es correcta.

No tengo la sensación de que esté bien resuelto, en realidad esa teoría no cuenta con que habrá familias que tengan n hijas antes de un varón. La mayor probabilidad es que salga a la primera o a la segunda. una vez que la primera sea hija, se reducen las probabilidades de que la segunda sea, pero las hay, así sucesivamente. Tiene miga, tiene...
(Por suerte creo que va a haber mas muchachas de lo que pensaba)

Os cuento la segunda, que me parece más simple.

Si en el país hay N parejas, N/2 de ellas tendrán un hijo, N/4 una hija y un hijo, N/8 dos hijas y un hijo, N/16 tres hijas y un hijo, etc...

El número total de hijos e hijas será:

N*(1/2) + N *(1/2)^2 * 2 + N * (1/2)^3 * 3 + N * (1/2)^4 *4 +.... =
N/2*(1 + 2*(1/2) + 3*(1/2)^2 + 4*(1/2)^4 +....) =
= N/2*( 1/(1-1/2)^2 ) = 2*N

En cada familia hay un solo hijo, por lo que hay N hijos y N hijas, más N padres y N madres.

En definitiva, el 50% de la población es femenina, y Chewie dio en el clavo no formalmente, a no ser que me descubráis un fallo.

Gracias.

Precisamente iba a escribir una solución similar. Pero he pensado poco. Parece antiintuitivo en principio que la solución sea el 50%. Se pone interesante.

La primera vez que lo pensé fui por otra línea.

Dada una persona de ese país, la probabilidad de que sea chico, P(B), será igual a la probabilidad de que sea hijo único P(A1)=1/2, por la probabilidad de que sea chico siendo hijo único P(B/A1)=1; más la probabilidad de que tenga una hermana mayor P(A2)=(1/2)^2, por la probabilidad de que sea chico siendo dos hermanos P(B/A2)=1/2, más la probabilidad de que tenga dos hermanas mayores P(A3)=(1/2)^3, por la probabilidad de ser chico siendo tres hermanos P(B/A3)=1/3,... etc

P(B)=P(A1)*P(B/A1) + P(A2)*P(B/A2) + P(A3)*P(B/A3) + ...=
(1/2)*1 + (1/2)^2*(1/2) + (1/2)^3*(1/3) =
Ln(1/(1-x)) = Ln(2) ~0.7

Luego la proporción de población femenina debería ser del 30%.

¿Dónde estoy equivocado?

El cálculo probabilista que haces Sergio creo que es correcto pero que te da el valor esperado de la proporción de varones por familia que no tiene por qué ser igual que la proporción en la población (creo).

Estoy pensando que a lo mejor la respuesta correcta es 50% si asumimos (como yo al menos he hecho) que partimos de una población de N parejas donde obviamente la proporción es del 50% inicialmente. ¿Y si partimos de la propia respuesta que es la proporción de varones buscada?.

Hablando con un amigo, al cálculo que hago en 7 no le veo ningún problema. Pero el de 9 tiene al menos un problema:

- Todos los P(Ai) están mal calculados, por la probabilidad de que una familia sea de x miembros no es la misma que la probabilidad de que un individuo tomado al azar sea de una familia de x miembros. Ahí he tenido un fallo grave.

Tu solución Sergio en #7 me sigue pareciendo correcta. Ahora, una curiosidad.

Asumamos que la proporción de mujeres en la población de N habitantes es x. Por tanto tenemos N x mujeres [y N (1-x) varones] que se reproducirán hasta que la población tenga N x niños y N x niñas. Por tanto, la proporción de población femenina será finalmente

2 N x/[3 N x + N (1 - x)] = 2x/(2 x + 1)

Es decir, que la proporción final depende la proporción inicial y sólo serán iguales si partimos precisamente de x = 1/2.

Lo curioso es que si partes por ejemplo de x = 0,25 (es decir, un 25% de población femenina), la fracción final de población femenina después de la reproducción es 0,33. En 2ª generación 0,4 y en 10 generaciones la población ya tendría x=0,499.
Por tanto x = 1/2 parece como un atractor de la solución del problema.

Pero el autor del acertijo afirma que x = 1/2 no es la solución.

Hombre, como no especificas el periodo para el cálculo, supondremos que preguntas por la proporción estable final, y para calcular el límite de esa sucesión no se necesitan matemáticas.

1 + 0 = 0

De hecho, todo lo que hemos comentado hasta ahora se reduce al simple hecho que si la probabilidad de tener un hijo o una hija es 1/2 la población tiene que tender necesariamente a esa proporción.

Ahora, leyendo los comentarios de la entrada original creo que el autor entiende que cuando uno mira a ese país estará en algún punto del proceso donde todavía habrá familias que sólo tengas hijas y entonces habrá que calcular algo así como el valor esperado de la proporción de sexos en una distribución aleatoria de países que siguiesen esa estrategia reproductiva. Por eso insistía en que no era el 50% aunque obviamente si la población es suficientemente grande, la desviación de ese 50% debería ser muy pequeña.

Por cierto, no había visto que el origen del acertijo está en una de las preguntas que hace google en la selección de programadores.

Creo que estáis intentando resolver el problema de forma logarítmica. Si lo haces de forma algorítmica es sencillo.
Partimos de un posible nacimiento por año y por pareja.
El primer año las parejas tienen una proporción igual de niños y niñas. No hay variación.
El segundo año las parejas anteriores que hayan tenido una niña, más las nuevas parejas vuelven a alumbrar un 50 % de varones y un 50 % de niñas. La proporción no ha cambiado.
El tercer año las parejas que en el año anterior hayan tenido niñas, más las parejas de nueva formación vuelven a tener un 50 % de varones y otro 50 % de niñas.
El hecho de que haya familias con solo hijas se contrarresta porque el 50 % de las familias tienen un hijo único varón.
Esa proporción del 50 % permanece invariable.

Pero imagina que sólo hubiese una pareja (al fin y al cabo el problema no etablece el número de parejas). Las probabilidades para las diferentes configuraciones
V (1/2)
HV (1/4)
HHV (1/8)
...

El número esperado de niños varones es
E(V)= 1/2*1+1/4*1+... = 1
y el de niñas
E(H)= 1/4*1+1/8*2+1/16*3+... =1
Luego esa sería nuestra respuesta.

Pero lo interesante es lo que ocurre con el valor esperado

E[H/V+H]= 1/2*0+1/4*1/2+1/8*2/3+...

que de manera similar a lo que había calculado Sergio en #9 es 1 - log2 ~ 0.3 (30%)

Entonces parece ser que la solución del problema que propone el autor es ese mismo cálculo pero para N familias.

El planteamiento nº 15 de Fer, me parece simple, exacto y muy didáctico.

Otra forma de hacer el mismo planteamiento que Fer es hacerlo al revés: En principio, si no hay restricciones, la probabilidad sería 1/2. Bien. Cuando una pareja tiene un hijo, deja de tener descendencia. Al dejar de tener descendencia, ¿que evita?, pues simplemente evita la probabilidad de que el siguiente hijo sea niño (1/2) y niña (1/2). Es decir, no evitas ningún sesgo en la proporción. Si después de tener un hijo varón, dejas de tener hijos, no altera en nada la proporción a que siguieras teniendo hijos.

Y la controvertida respuesta

El siempre socorrido Cuentendelaviejaexperiment confirma la relación 50/50.

import random

boys = 0
girls = 0

for couple in range(1000000): 
    while random.choice(['boy', 'girl']) == 'girl':
        girls = girls + 1
    boys = boys + 1

print "boys: %d, girls %d" % (boys, girls)

boys: 1000000, girls 999898

Según la respuesta del autor, ésta difiere del 50% como -1/4N siendo N el número de parejas en primera aproximación.

En tu simulación 0.5 - 0.00000255 (999898/1999898) lo que es compatible con el resultado del autor del acertijo. Luego sigue en discusión el argumento del 50/50.

Anda, no había leído esa respuesta. He corrido la simulación varios miles de veces y las proporciones se ajustan a lo que se predice ahí para 2 parejas (~38%), 10 (~47%) y muchas (~50%).

Lo siguiente lo escribí en otro sitio, antes de leer los comentarios acá:

La proporción de mujeres es muy cerca al 50%. La razón, según yo lo veo, es que, no importa qué criterio
establezcan las parejas para dejar de tener hijos, siempre la
probabilidad de que sean varón o hembra es 50%. Veámoslo con un
ejemplo sencillo de 120 parejas: antes de empezar a tener hijos, son
120 hombres y 120 mujeres. El primer hijo de esas 120 parejas serán cerca 60 hombres y 60 mujeres, con lo que ahora la población será de 180 hombres y 180 mujeres. Las 60 parejas que tuvieron hombres dejarán de procrear, y las 60 parejas que tuvieron mujeres procrearán cerca de
30 hombres y 30 mujeres con lo que ahora la población será de 210
hombres y 210 mujeres y así sucesivamente, cada vez menos parejas tendrán hijos, pero siempre la mitad de los hijos que tengan esas parejas serán hombres, y la otra mitad, mujeres, manteniéndose siempre la proporción. Llegará, incluso, el momento en que los hijos estén en edad de procrear y formarán parejas que que se reproducen manteniendo la misma proporción de 50% hombres y 50% mujeres.

Ahora veo los comentarios aquí y opino que el hecho de que la proporción inicial no sea 50-50% no afecta el resultado final, porque lo único que afectaría sería que, o bien habrá un número inicial que nunca tendrá pareja y, por tanto, no tendrá descendencia (con lo cual su proporción se irá diluyendo al aumentar la población); o bien asumimos que las parejas no son necesariamente estables y quienes antes no tenían pareja la forman con quienes ya no pueden tener hijos (porque, supongo, quien deja de tener hijos es la pareja y no cada una de las personas en particular) y también dará como resultado que la proporción de quienes no tienen pareja se irá diluyendo al aumentar la población.

Pero tenemos un problema Jaime. Parece que todo apunta a que la solución es el 50%. Pero la simulación de chewie debería haber producido justo el mismo número de varones y hembras. Pero no lo hizo. Entonces tiene que haber algo erróneo con el razonamiento que te lleva a que la proporción debería ser justo el 50%, no aprox. el 50%.

Ponte tres familias. Una posibilidad sería
1ª HHHV
2ª V
3ª HHV

H/(H+V) = 8/(6+8)= 8/14=4/7

Es decir. No parece cierto que tenga que darse un 50% y por tanto el valor esperado de la relación H/(H+V) a lo mejor no es 50%.

Lo que sí tenemos todos claros, es que para un número grande de familias la proporción tiene que estar muy cerca del 50%. Por eso el resultado en primera aproximación parece ser

H/(H+V) ~ 1/2 - 1/4N

con N el número de parejas.

Todavía no le he dedicado tiempo suficiente para entender cuál es la solución exacta matemáticamente. Así que sigue siendo un acertijo pero ya mucho más complejo de lo que parecía. Interesante!.

Francamente, no veo ninguna razón para que sea diferente a 50-50 si consideramos que, en todo momento, las parejas con capacidad de procrear (o sea, aquellas que no tengan hijo varón) tienen una probabilidad de 0,5 de tener hembra. Por otra parte, hice un programa parecido al de Chewie y me da unas veces un poco más de 50 y otras, un poco menos (lo que es lógico, porque al tratarse de de números aleatorios es difícil que dé exactamente 50-50).

Os pongo aquí el programita que he hecho para comprobar que la proporción de hembras se ajusta bien a esa aproximación de 1/2−1/4k para k parejas.

La simulación pone a procrear a poblaciones de 1, 2, 5, 10, 100 y 10000 parejas, y repite el proceso 1000 veces para descartar casos raros calculando la media de las proporciones:

import random

print "Average proportion of girls for:"

for n_couples in (1, 2, 5, 10, 100, 10000):
    proportions = []
    for i in range(1000):
        boys = 0
        girls = 0

        for couple in range(n_couples):
            while random.choice(['boy', 'girl']) == 'girl':
                girls = girls + 1
            boys = boys + 1

        proportion = girls*100.0/(girls+boys)
        proportions.append(proportion)

    print "%d couples: %f%%" % (n_couples, (float(sum(proportions))/len(proportions)))

Average proportion of girls for:
1 couples: 30.033290%
2 couples: 38.984353%
5 couples: 45.053194%
10 couples: 47.607363%
100 couples: 49.789494%
10000 couples: 49.994990%

Gracias por el curre Chevie. Ese programa contradice el razonamiento del 50%. Porque si el razonamiento fuese correcto, para un número grande parejas, el resultado tendría que fluctuar como 50±variación aleatoria con media 50%, pero con tu algoritmo está claro que la fracción H/(V+E)

Una pequeño matiz. Para las proporciones correctas sería interesante partir de
girls = n_couples
boys = n_ couples
pues los padres también cuenta en la proporción de la población.
Hecho así puede servir como buen test que tu programa reproduzca como media la fracción esperada para una pareja que es 1 - log2 = 0,30685

No logro entender: ¿Por qué resulta tan diferente el simular 1000 veces con una pareja que simular una vez con mil parejas?

¡Qué curioso!:estuve pensando largo tiempo sobre lo que dije en 29 antes de escribirlo y, apenas le di «enviar», de pronto vi que son cosas muy diferentes.

Corrí la simulación y, a menos que esté cometiendo un grave error, me da que el «pequeño matiz» que menciona Pedro J. en 28, hace que el porcentaje salte de ~ 30,5% a ~45,5%

En el comentario #27 quería terminar diciendo "el resultado tendría que fluctuar como 50±variación aleatoria con media 50%, pero con tu algoritmo está claro que la fracción H/(V+H) es menor del 50%.

Después de mucho pensarlo, llegué a la conclusión de que, a pesar de todo, la proporción correcta tiende a ser 50-50.

Creo que el algoritmo de Chewie (y, quizás, las otras respuestas que no dan 50-50) no solo fallan en no tener en cuenta a los padres y madres, sino en que lo que realmente calculan es el promedio de la proporción de mujeres que hay en cada familia, cuando lo que se pide es la proporción de mujeres con respecto a la población total. Es diferente. Por ejemplo si tenemos dos familias así:

VHV

VHHHV

Tenemos que en la primera familia las hembras son 33,3% y en la segunda, 60%, para un promedio de 46,7; pero si contabilizamos el total de la población, nos damos cuenta de que los varones son cuatro y las hembras también.

No digo que en todos los casos se dé exactamente 50-50, sino que al aumentar las simulaciones se tiende a ello porque, como dije inicialmente, no hay ningún factor que haga que el número de nacidos no sean, en promedio, mitad hombres y mitad mujeres. O sea, no importa que criterio usen las familias para dejar de tener hijos (que el bebé nazca en hora par o que sea varón), esto no cambia en nada el hecho de que, mientras estén procreando, la probabilidad de que sea hembra o varón es igual.

Eso Jaime es exactamente lo que comentaba en #16.

Fíjate que se convierte en un problema de esperanza matemática porque pueden darse diferentes valores.

El problema (y que confieso que todavía no entiendo en su justa medida) es si tenemos que calcular E[H]/(E[H]+E[V]) o alternativamente E[H/(H+V)]
E es la esperanza matemática
El programita de chewie sugiere que lo adecuado es lo segundo y curiosamente esa es la respuesta del autor del acertijo. Pero se ha creado una enorme discusión al respecto porque la respuesta oficial de google es intuitiva y es 50% justo por el razonamiento al que tu has llegado.

Sí, pero fíjate que en #16 estás calculando para una pareja, o sea, me parece que estás caculando la esperanza matemática de la proporción de mujeres en cada familia, que no es lo que se pide. Se pide la proporción de mujeres con respecto al total de la población.

Si la proporción 50-50 es incorrecta, entonces necesariamente hay algún error en el siguiente razonamiento: mientras las parejas estén teniendo hijos y sin importar la razón por la que dejen de hacerlo, la probabilidad de tener hembra o varón se mantiene en 50%; por lo tanto, la población de nacidos es siempre 50% hembras 50% varones... ¡Epa! ¡Un momento! ¡Se me acaba de ocurrir un posible error en el razonamiento!:

Las posibilides de tener dos hijos sin la restricción son:

HH
HV
VH
VV

Si aplicamos la restricción a este grupo, nos da:

HH
HV
V
VV

¡Eso se parece a una hembra menos por cada 4 parejas!: seguiré pensando.

Quizás se podría mejorar la respuesta si el polinomio que modelo la contestación incorporara la proporción incial de mujeres al momento de la decisión (Ho/[Ho+Vo]) y, "casi" no hace a la lógica del sunto, consideráramos que la probabilidad del nacimeinto de mujeres, tengo entendido, es ligeramente mayor que varones [por razones evolutivas he escuchado]

¡es al revés!, una oportuna corrección en Cafeateo [apoyada en datos] me hizo saber que la tasa de nacimientos de mujeres es ligeramente mayor que la de hombres [Promedio mundial aprox=1,07] ...con las correcciones del caso al comentario 35

Pero lo interesante del acertijo, AAV, es cuál sería la respuesta si la probabilidad de tener una niña o un niño fuese exactamente 1/2, para no añadir más complicaciones.

En #34 evidentemente cometí un error tonto: con la restricción terminan siendo 3H y 3V.

Por otra parte, creo que encontré una objeción a la proporción 0,5 - 1/4n:

Supongamos que no es uno, sino dos países, ambos con n parejas iniciales. Entonces, en cada uno de los dos países la proporción de mujeres será de 0,5 - 1/4n. Un buen día los dos países deciden unirse, entonces en el país unido ya no hay n, sino 2n parejas y, en consecuencia, la proporción de mujeres pasaría a ser 0,5 - 8n, lo cual es absurdo ya que la proporción no puede variar por el solo hecho de considerar los dos países como uno solo.

Creo que también encontré una objeción a mi argumento de que no importa la razón por la que dejen de tener hijos, siempre se mantendrá la proporción de 50-50: Hay por lo menos un criterio según el cual la proporción necesariamente es diferente a 50-50, y ese criterio es, por ejemplo, que cada pareja tendrá hijos hasta tanto el número de hijas sea uno más que el número de hijos.

Fe de erratas de #38:

Donde dice:

la proporción de mujeres pasaría a ser 0,5 - 8n

Debe decir:

la proporción de mujeres pasaría a ser 0,5 - 1/8n

Para #38 y #39,

¿La proporción cambia al sumar dos poblaciones con la misma proporción?

En una población A, 1/3 son rojos, En otra población B, 1/3 son rojos también. Al sumar A y B, las proporciones no se suman, sigue siendo 1/3 de rojos.

Como yo lo veo, no sirve como argumento de reducción al absurdo.

Es precisamente lo que digo, Luis (#40): que si la proporción es igual antes de la suma, debe permanecer igual después de la suma y, por tanto, la proporción no puede ser expresada como 0,5 -1/4N, donde N sea el número de parejas. No logro entender por qué dices que no aplica la reducción al absurdo.

Una explicación muy detallada de la solución.