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Cómo diseñar un circuito cuántico de teleportación II
Viene de
Cómo diseñar un circuito cuántico de teleportación I
En la
primera entrada veíamos qué es un qubit, cómo se representa en una esfera de Bloch y cómo funcionan las puertas X,Y,Z y H de una entrada. En este post introduciremos las puertas de dos entradas, diseñaremos nuestro primer circuito simple para generar estados entrelazados de Bell que nos servirán como primer paso para diseñar nuestro circuito de teleportación.
Puertas cuánticas de dos entradas
La puerta cuántica de dos entradas por excelencia es la
cNOT (controlled-NOT) que tiene una entrada en el papel de qubit de control (|x> en la imagen) y un qubit blanco o target (representado por |y> en la imagen)
La operación de la puerta puede entenderse fácilmente percatándose que si el qubit de control es 0, el qubit target no cambia, mientras que si el qubit de control es 1, el qubit target cambia, por lo que una cNOT puede entender como una generalización de la puerta lógica clásica XOR.
Sin embargo hay una diferencia fundamental. La puerta XOR no es una puerta universal en electrónica digital clásica. Ni siquiera en combinación con puertas NOT, puede reemplazar a cualquier puerta. La puertas NAND o NOR sí que sabemos que son universales. La puerta cNOT, junto con las puertas de una entrada son, sin embargo, suficientes para construir cualquier circuito cuántico universal.
Existen otros matices en los que no entraremos ahora. El más importante es que las puertas lógicas clásicas son irreversibles (o no invertibles), es decir, el bit de salida es compatible con varios de entrada. Las puertas cuánticas tienen, sin embargo, que ser reversibles. Por tanto, la existencia de un circuito cuántico para simular a otro circuito clásico sólo será posible si existe algún tipo de puerta reversible sustituible por las puertas irreversibles. Hablaremos más adelante de este importante asunto.
Supongamos que nuestro qbit de control es |x> = |0> y que introducimos un qubit general como target |y> = a |0> + b |1> El estado de la puerta puede representarse como un producto especial de los estados de las entradas -- conocido como tensorial, aunque el lector puede de momento ignorar ese término -- , y que veremos escrito habitualmente de tres maneras
|x>⊗|y> = |x>|y> = |xy>
En nuestras condiciones, el estado de la entrada
|0> (a |0> + b |1>) = a |00> + b |01>
donde vemos que los valores del qbit target no cambian.
En cambio, si el qubit de control es |1> tendríamos que el estado de entrada sería
a |10> + b |11>
y el de salida, debido al cambio del target
a |11> + b |10>
Recuerde el lector que puede practicar con todas las posibilidades en el simulador al que apuntábamos (clicar en la imagen)
Equivalentemente, esta operación se puede representar por una matriz 4 x 4, algo que podemos obviar de momento y que el lector interesado puede explorar
aquí.
Generalizando el qubit de control
La puerta cNOT nos sugiere la generalización de convertir cualquier puerta de una entrada en una puerta controlada de varias entradas, de tal manera que sólo actúa cuando el estado del qubit de control es |1>. Así por ejemplo, la puerta controlada de Hadamard sería
El lector debería ahora como ejercicio intentar percatarse de que una puerta controlada X es equivalente a una cNOT.Para ello puede utilizar el editor-simulador web
Nuestro primer circuito cuántico sencillo: preparando estados entrelazados de Bell
Realicemos ahora nuestro primer circuito de dos puertas utilizando una cNOT cuyo qubit de control pasa previamente por una puerta Hadamard
Veamos lo que ocurre con un estado de la entrada del tipo |00>. La puerta H transforma el primer qbit en
de tal manera, que tenemos como entrada de la puerta cNOT
y que ésta transforma en
que es uno de los estados entrelazados de Bell y que denotamos por | β
00 > . Similarmente -- ejercicio que queda para el lector --, para las diferentes posibilidades de entradas tendremos
Diseñando nuestro circuito de telportación. ¡Por fin!
Vamos ahora a fabricar nuestro primer circuito cuántico interesante. Se trata de conseguir la teleportación de un estado cuántico desconocido por el emisor, lo que implica moverlo de un lugar a otro sin que exista necesariamente un canal de comunicación cuántica entre el emisor y el receptor, aunque sí necesariamente un canal clásico. Para mantener una bonita tradición, pongamos nombre al emisor, Emilio, y a la receptora Rebeca. (Alice y Bob son los nombres tradicionales anglosajones)
Emilio y Rebeca han tenido necesariamente que interaccionar anteriormente generando un estado de Bell entrelazado. Luego, aunque no sea necesario que exista un canal de comunicación cuántico, si es necesario que haya existido en algún momento. Para generar un par entrelazado pueden utilizar el circuito que hemos visto en la sección anterior.
Emilio tiene ahora una única copia de un qubit | 𝜓 > que quiere enviar a Rebeca. Emilio no puede averiguar con certeza el estado del qubit en su posesión. La causa: la indeterminación cuántica. Si Emilio decidiese hacer una medición del qubit perdería el estado y sólo ganaría un bit clásico de información sobre el qubit. Una posible escapatoria podría ser clonar el estado cuantas veces haga falta para realizar suficientes mediciones y así recuperar el estado del qubit con un determinado nivel de certeza. Veremos con mayor detalle en una próxima entrada que clonar estados cuánticos es imposible, un resultado elevado a la categoría de teorema de imposibilidad de clonación.
Bien, Emilio sólo puede utilizar algún procedimiento ingenioso que implique el par entrelazado que había compartido previamente con Rebeca. Para ello hace interaccionar el qubit en su posesión con su mitad del par entrelazado, utilizando una puerta cNOT.
En el circuito de la imagen a continuación, vemos cómo Emilio y Rebeca crean en primer lugar el estado entrelazado
E se refiere al qubit de Emilio y R al de Rebeca.
Después de la creación del para entrelazado, podemos representar el estado (producto tensorial) de los tres qubits como
donde los dos primeros qubits están en posesión de Emilio y el último de Rebeca.
Posteriormente, Emilio utiliza su parte del par entrelazado como target en una segunda puerta cNOT y el qubit | 𝜓 > que quiere enviar como control.
Recordemos la actuación de una puerta cNOT: si el qubit de control está en estado |0>, nada cambia; si está en estado |1> el qubit target cambia. Recordemos además que el único qubit afectado por la segunda puerta cNOT es el correspondiente a Emilio. El nuevo estado queda de la siguiente manera:
El siguiente truco consiste en hacer pasar el primer qbit de Emilio por una puerta de Hadamard
El estado resultante puede entonces representarse como
que reordenando términos se convierte en
Llega el momento crucial. Podemos ver que si Emilio hace una medida de sus dos qubits y obtiene |00>, el qubit de Rebeca es de hecho el qubit que queríamos transportar. Sin embargo, Emilio podría obtener |01> y Rebeca tener que conformarse con el estado a|1> + b |0>. ¿Cómo podría entonces Rebeca recuperar | 𝜓 > en esas circunstancias ? Fácil, sólo tiene que aplicar una puerta X que intercambia los valores de las amplitudes. Dejo como ejercicio al lector percatarse de que, en los dos casos restantes, Rebeca tiene que aplicar las operaciones Z y ZX (primero una puerta X y a continuación una Z) respectivamente.
¿Por qué la operación de actuación de una puerta X seguida de una puerta Z se representa como ZX? Comprobar que ZX es distinto que XZ utilizando las matrices representativas de cada operación. Para los lectores que no quieran meterse con matrices, se puede demostrar de forma visual con la aplicación java de la esfera de Bloch y numéricamente con el simulador web
Ahora ya estamos en condiciones de representar nuestro circuito de teleportación completo
Donde podemos ver cómo Emilio realiza las mediciones que luego comunica a Rebeca como bits clásicos (líneas dobles). Sin embargo, este circuito tiene el handicap de utilizar las puertas X y Z como controladas por bits clásicos. Dicho de otra manera, la elección de qué puertas aplica Rebeca a su qubit dependerá de los resultados de las medidas de Emilio. Es lo que buscábamos, pero, en la línea del tipo de puertas que hemos estudiado, sería más elegante realizar el control con auténticos qbits dejando las mediciones como paso final. Eso se puede hacer formulando el siguiente circuito equivalente
Podemos simular un circuito de teleportación de la siguiente manera (clic en la imagen para acceder al simulador)
donde hemos reproducido un estado | 𝜓 > = a | 0 > +b | 1 > (creado por la puerta F actuando sobre el primer qubit) con |a|² = 0.75 y |b|² = 0.25 , es decir, con probabilidad de obtener 0 en una medida del 75%.
Los lectores más avanzados también pueden utilizar la simulación de Wolfram Alpha para visualizar estados intermedios
La teleportación por supuesto no implica necesariamente distancia espacial. Uno podría imaginar un sistema de teletransporte temporal o viaje al futuro de un qubit que ha sido destruido en una medición. Para ello, Emilio sólo tiene que medir su estado, poner el resultado en su blog de notas y esperar a que Rebeca pase por allí con su qubit y aprenda lo que tiene que hacer para recuperar un estado que fue destruido con la medición quién sabe si hace décadas.
Es importante percatarse de que la teleportación implica la destrucción del qubit inicial. En caso contrario hubiésemos creado un sistema para copiar qubits, algo que veremos en posteriores entradas que es imposible. Tampoco, en ningún momento, podríamos utilizar la teleportación para enviar información a velocidad superlumínica, algo que detallaremos en la próxima entrada donde veremos cómo construir físicamente un circuito de teleportación y utilizarlo.
Bonus extra
Qiskit es un entorno de código abierto que utiliza python para trabajar con harware Noisy Intermediate Scale Quantum (NISQ) a nivel de pulsos, circuitos y algoritmos.
Tutorial: "
Implementaciones de un algoritmo cuántico para principiantes" para ordenadores cuánticos de IBM.
2014-11-29 19:31 | Fisica |
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