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Ecos del futuro

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    Pedro J. Hernández



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  • Inicio > Historias > Curiosidades de la lotería II

    Curiosidades de la lotería II

    He tenido un Déjà vu de una entrada del mismo título mientras Microsiervos contaba
    Y en otras noticias del mundo de las lotos… resulta que en Israel se produjo otro hecho altamente azaroso e inesperado hace poco: se repitió la combinación ganadora de una Loto con unas pocas semanas de diferencia. La combinación era 13-14-26-32-33-36 y salió tanto el 21 de septiembre como el 16 de octubre. Allí la Loto son 6 números entre 37 y el suceso era bastante improbable en cualquier caso, aunque algunas fuentes magnificaron la casualidad diciendo que había sido «en el siguiente sorteo» lo cual sería técnicamente más improbable todavía. En fin, es el tipo de cosas que… a veces pasan.

    ¿Es improbable el suceso?. No lo es, porque no sólo hay que contar la probabilidad del suceso individual, sino la probabilidad de que suceda ese hecho tras años de sorteos.

    La probabilidad de que salga una combinación concreta

    6/37 * 5/36 * 4/35 * 3/34 * 2/33 * 1/32 = 31! * 6!/ 37! ~ 1 en 2 millones

    La probabilidad de que salga la misma combinación en dos sorteos seguidos es 1 en 2 * 2 billones. Ese es el número que parece increíble pequeño, y es de hecho ~ 2 10⁻¹³

    Pero la pregunta correcta sería: Dado que la lotería se viene celebrando durante ~ 50 años (~ 600 meses), ¿cuál es la probabilidad de que no se produzca ninguna coincidencia dentro de unas pocas semanas?

    Como ejemplo hagamos el cálculo para una coincidencia dentro de un mes, es decir, cuatro semanas. Para una determinada combinación de números, la probabilidad de que reaparezca en el próximo sorteo es p ~ 1 en 2 millones. Por tanto la probabilidad de no coincidencia es (1-p). En próximo sorteo se podría dar una coincidencia con el primer sorteo y otra con el segundo, con lo que la probabilidad de que no coincidencia es (1-p)² y así sucesivamente.

    Luego la probabilidad de no coincidencia en 4 sorteos es

    (1-p) (1-p)² (1-p)³ (1-p)⁴ = (1-p)¹⁰

    Y la probabilidad de coincidencia es

    1 - (1-p)¹⁰ ~ 5 10⁻⁶; o aproximadamente 1 en 200,000

    Aunque de una manera sólo estimativa, podemos hacernos una idea de lo que ocurrirá en 600 meses suponiendo que se juega con esa probabilidad 600 veces, con lo que la probabilidad será al menos del orden de 1 en 1,000.

    Si tenemos ahora en cuenta que nos hemos fijado en la lotería israelí porque nos ha llamado la atención que haya ocurrido allí ese hecho, significa que estamos en realidad considerando todas las loterías que se juegan a nivel mundial y teniendo en cuenta que en muchas de ellas (como en la bonoloto) se juegan sorteos diarios, vemos que el resultado israelí --más que inaudito-- es bastante probable que se produzca.

    Entrada basada en Israeli Lottery Wonder Demystified

    2010-10-24 16:36 | Loteria | 13 Comentarios


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    Comentarios

    1
    De: Rennaissance Fecha: 2010-10-24 18:07

    Seguro que las probabilidades son correctas?

    Para el euromillón, el máximo número es 50, se sacan 5 números, y no se pueden repetir, con lo cual:

    (1/50)*(1/49)*(1/48)*(1/47)*(1/46)= 1 entre 254 millones.

    Pero además, tienes que acertar también la serie, que son dos números y no se pueden repetir, con lo cual, esa cifra se multiplica por 72. Es decir, tienes una probabilidad entre 18.000 de que te toque el euromillón, desalentador hasta para el más optimista.

    He de admitir que juego al euromillón, lo que me convierte en gilipollas.



    2
    De: Rennaissance Fecha: 2010-10-24 18:08

    Una probabilidad entre 18.000 millones, quería decir.



    3
    De: Pedro J. Fecha: 2010-10-24 20:11

    Efectivamente me había equivocado, no en la forma de calcular la probabilidad que es correcta, sino en la operación aritmética. En lugar de 1 en 23 millones, en realidad el resultado es 1 en 2,3 millones. Ya está rectificado aunque el argumento no cambia obviamente.

    Pero la manera en que estimas la probabilidad es incorrecta. Si tienes 50 números de los que eliges 5, cuando sacas la primera bola, tiene una probabilidad de coincidencia de 5/50. En la siguiente ya sólo te quedan 4 números y 49 en el bombo, por tanto tus oportunidades son 4/49 y así tal que la probabilidad es
    5/50*4/49*3/48*2/47*1/46 = 1 en 50!/(45! 5!) o aproximadamente 1 en dos millones.

    Pero en euromillones (nunca he jugado) creo que además eliges otros dos números de nueve, lo que te da por la misma regla 2/9*1/8 posibilidades de acertar, es decir 1 de 36.

    Luego tu probabilidad de sacarte el gordo en torno a 1 en 72 millones (algo menos si haces los cálculos exactos).

    Sólo no estás haciendo lo mejor al jugar no por el hecho de jugar a la lotería, sino por el hecho de jugar al euromillón existiendo la bonoloto donde aunque los premios son más pequeños (lo que es según los estudios más favorable), las probabilidades son mayores por euro apostado. Dedicaba otra entrada a explicar por qué bajo ciertas premisas no es irracional jugar a la lotería. Yo lo que hago es jugar una bonoloto (por 1 euro te dan dos apuestas) con una frecuencia de una vez al mes aproximadamente.



    4
    De: Teaius Fecha: 2010-10-27 00:23

    hablando de curiosidades, ¿habéis visto la primitiva del sábado que han acertado 47 personas la combinación ganadora? Claro que salían muchos números "redondos". No cobran ni 60.000 euros. Que pena acertar la primitiva y cobrar tan poco.



    5
    De: Pedro J. Fecha: 2010-10-27 01:12

    Precisamente en el enlace de microsiervos comentaban el fenómeno. Por eso otra regla "racional" para jugar a la lotería es jugar una combinación al azar, es decir, solicitar un boleto generado por la máquina expendedora, porque las combinaciones que suele uno jugar del tipo números terminados en cinco tienen más probabilidades de haber sido elegiods por otras personas.

    De todas formas tampoco está mal un premio repartido. Los estudios dicen que los premios de unos pocos cientos de miles de euros son más efectivos aumentando la satisfacción de la vida que los premios multimillonarios que a priori parecerían más atractivo. Cuando cuento esto la gente me contesta que prefieren experimentar lo que siente siendo euromillonario, un típico prejuicio de pensar que a nosotros no nos va a pasar lo que les pasa a los demás.



    6
    De: Teaius Fecha: 2010-10-28 00:29

    Cuantas veces me he preguntado que clase de generador aleatorio tendrán las máquinas de los loteros y si no sería mejor hacerla a mano por si acaso... El caso es que siempre he cobrado más veces (de 3 aciertos, no te vayas a pensar...) cuando la hace la máquina que cuando la hago yo.

    ¿no hiciste una vez una entrada con un javascript simulando sorteos o lo he soñado?



    7
    De: Pedro J. Fecha: 2010-10-28 00:49

    El javascript no era mío, pero sí lo inserté en una entrada anterior pero en realidad no simulaba exactamente la lotto 6/49 ya que buscaba una combinación con posiciones fijas mucho más improbable.



    8
    De: sergi0 Fecha: 2010-10-28 19:19

    Hay varios libros que de divulgación matemática que se entretienen bastante mostrando cálculos probabilísticos aparentemente paradójicos (solo aparentemente: una vez entendidos y asimilados lo que te choca es que alguna vez tú intuición se hubiera pronunciado en sentido contrario.)

    Esta entrada es análoga a uno de los casos leídos en uno de esos libros en los que calculaba la probabilidad de que en un clase el cumpleaños de un alumno coincidiera con el de otro alumno.

    Por cierto, la probabilidad de que la lotería israelí se repitiese en 600 meses, si mi aritmética no falla, es bastante mayor de 1/1000. A mi la cuenta me sale 0.075, es decir, 1 de cada 13 (menos inaudito aun, por tanto.) No es descabellado pensar que, tirando de registro, otra combinación se haya repetido, solo que con mas separación temporal y por eso no haya sido noticia.



    9
    De: sergi0 Fecha: 2010-10-28 19:28

    A vale. Perdón. La lectura en diagonal juega malas pasadas. Estás considerando que en los 600 meses se repita la combinación en una ventana temporal de 4 semanas, por lo tanto la probabilidad sí que es aprox 1/1500.



    10
    De: Pedro J. Fecha: 2010-10-28 19:41

    Lo que ocurre Sergio es que no estimaba la probabilidad de que en 600 meses se repitiese, sino la probabilidad de que durante esos 600 meses se repitiese con menos de 1 mes de diferencia que es distinta. Como no tenía tiempo de pensar cómo hacer el cálculo exacto, hice esencialmente un cálculo estimativo del orden de magnitud de la siguiente manera.
    La probabilidad de que se repita en menos de 4 sorteos (1 mes) es 1 en 200,000. Por tanto la probabilidad estimada de que en 600 meses ocurra es 1 en 200,000/600 o 1 en 300 aproximadamente. Esa no es la cantidad correcta en un cálculo exacto porque por ejemplo en los primeros dos meses en realidad tienes 4 intervalos posibles de 1 mes si trasladas una semana). Por tanto 1/300 (que rectifico ahora mismo en la entrada) es un límite superior estimativo para esa probabilidad pero ya es lo suficientemente pequeña para la ver que la línea argumental es correcta.



    11
    De: sergi0 Fecha: 2010-10-28 19:53

    Sí, ya me había fijado que había leído mal. Gracias.

    Y también me he dado cuenta que mi calculo particular sobre la probabilidad de que una combinación se repitiese en 600 meses también estaba mal porque he confundido meses con semanas: La probabilidad de que una combinación esté repetida en 50 años (600 meses, 2400 sorteos) es de aproximadamente 0.7 (!)



    12
    De: Fer Fecha: 2010-10-29 10:05

    Supongo que estoy interpretando mal los cálculos (o que me falla la intuición). Pero creo que si la probabilidad de que salga un número determinado es de 1 en 2 millones, entonces la probabilidad de que se repita el número que acaba de salir no varía,o sea, es de 1 en 2 millones. Lo que tendría una probabilidad ínfima es que juegues a un número determinado y te toque dos veces seguidas.
    Pongo un ejemplo con los dados. En condiciones ideales, tienes 1/6 de probabilidades de que te salga cualquiera de los 6 números. Tiras, te sale un 6. Si vuelves a tirar la probabilidad de que vuelva a salir un 6 sigue siendo 1/6.
    La probabilidad de que algo con P=1:2.000.000 suceda tras 600 iteraciones sería de 3:10.000.



    13
    De: Pedro J. Fecha: 2010-10-29 21:17

    De acuerdo Fer. Pero el evento que estoy considerando es el de que se repita una combinación de la lotería en menos de 4 sorteos consecutivos. En el caso de la lotería hebrea 6/37 eso es 1/200,000 = 1-(1-1/2millones)¹⁰
    Y por tanto, en 600 sorteos tienes una estimación de límite superior de 600/200,000 = 3/1000 ó 1/300. Por supuesto la probabilidad es mayor que esa cantidad porque en ese cálculo estimativo no se tienen en cuenta los intervalos de cuatro sorteos superpuestos.



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