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Ecos del futuro

Reflexiones sobre ciencia, economía, ecología, política y comportamiento humano

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    Pedro J. Hernández



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  • Cómo diseñar un circuito cuántico de teleportación II

    Viene de Cómo diseñar un circuito cuántico de teleportación I

    En la primera entrada veíamos qué es un qubit, cómo se representa en una esfera de Bloch y cómo funcionan las puertas X,Y,Z y H de una entrada. En este post introduciremos las puertas de dos entradas, diseñaremos nuestro primer circuito simple para generar estados entrelazados de Bell que nos servirán como primer paso para diseñar nuestro circuito de teleportación.

    Puertas cuánticas de dos entradas

    La puerta cuántica de dos entradas por excelencia es la cNOT (controlled-NOT) que tiene una entrada en el papel de qubit de control (|x> en la imagen) y un qubit blanco o target (representado por |y> en la imagen)


    La operación de la puerta puede entenderse fácilmente percatándose que si el qubit de control es 0, el qubit target no cambia, mientras que si el qubit de control es 1, el qubit target cambia, por lo que una cNOT puede entender como una generalización de la puerta lógica clásica XOR.

    Sin embargo hay una diferencia fundamental. La puerta XOR no es una puerta universal en electrónica digital clásica. Ni siquiera en combinación con puertas NOT, puede reemplazar a cualquier puerta. La puertas NAND o NOR sí que sabemos que son universales. La puerta cNOT, junto con las puertas de una entrada son, sin embargo, suficientes para construir cualquier circuito cuántico universal.

    Existen otros matices en los que no entraremos ahora. El más importante es que las puertas lógicas clásicas son irreversibles (o no invertibles), es decir, el bit de salida es compatible con varios de entrada. Las puertas cuánticas tienen, sin embargo, que ser reversibles. Por tanto, la existencia de un circuito cuántico para simular a otro circuito clásico sólo será posible si existe algún tipo de puerta reversible sustituible por las puertas irreversibles. Hablaremos más adelante de este importante asunto.

    Supongamos que nuestro qbit de control es |x> = |0> y que introducimos un qubit general como target |y> = a |0> + b |1> El estado de la puerta puede representarse como un producto especial de los estados de las entradas -- conocido como tensorial, aunque el lector puede de momento ignorar ese término -- , y que veremos escrito habitualmente de tres maneras

    |x>⊗|y> = |x>|y> = |xy>

    En nuestras condiciones, el estado de la entrada

    |0> (a |0> + b |1>) = a |00> + b |01>

    donde vemos que los valores del qbit target no cambian.

    En cambio, si el qubit de control es |1> tendríamos que el estado de entrada sería

    a |10> + b |11>

    y el de salida, debido al cambio del target

    a |11> + b |10>

    Recuerde el lector que puede practicar con todas las posibilidades en el simulador al que apuntábamos (clicar en la imagen)


    Equivalentemente, esta operación se puede representar por una matriz 4 x 4, algo que podemos obviar de momento y que el lector interesado puede explorar aquí.

    Generalizando el qubit de control

    La puerta cNOT nos sugiere la generalización de convertir cualquier puerta de una entrada en una puerta controlada de varias entradas, de tal manera que sólo actúa cuando el estado del qubit de control es |1>. Así por ejemplo, la puerta controlada de Hadamard sería


    El lector debería ahora como ejercicio intentar percatarse de que una puerta controlada X es equivalente a una cNOT.Para ello puede utilizar el editor-simulador web

    Nuestro primer circuito cuántico sencillo: preparando estados entrelazados de Bell

    Realicemos ahora nuestro primer circuito de dos puertas utilizando una cNOT cuyo qubit de control pasa previamente por una puerta Hadamard


    Veamos lo que ocurre con un estado de la entrada del tipo |00>. La puerta H transforma el primer qbit en


    de tal manera, que tenemos como entrada de la puerta cNOT


    y que ésta transforma en


    que es uno de los estados entrelazados de Bell y que denotamos por | β00 > . Similarmente -- ejercicio que queda para el lector --, para las diferentes posibilidades de entradas tendremos


    Diseñando nuestro circuito de telportación. ¡Por fin!

    Vamos ahora a fabricar nuestro primer circuito cuántico interesante. Se trata de conseguir la teleportación de un estado cuántico desconocido por el emisor, lo que implica moverlo de un lugar a otro sin que exista necesariamente un canal de comunicación cuántica entre el emisor y el receptor, aunque sí necesariamente un canal clásico. Para mantener una bonita tradición, pongamos nombre al emisor, Emilio, y a la receptora Rebeca. (Alice y Bob son los nombres tradicionales anglosajones)


    Emilio y Rebeca han tenido necesariamente que interaccionar anteriormente generando un estado de Bell entrelazado. Luego, aunque no sea necesario que exista un canal de comunicación cuántico, si es necesario que haya existido en algún momento. Para generar un par entrelazado pueden utilizar el circuito que hemos visto en la sección anterior.

    Emilio tiene ahora una única copia de un qubit | 𝜓 > que quiere enviar a Rebeca. Emilio no puede averiguar con certeza el estado del qubit en su posesión. La causa: la indeterminación cuántica. Si Emilio decidiese hacer una medición del qubit perdería el estado y sólo ganaría un bit clásico de información sobre el qubit. Una posible escapatoria podría ser clonar el estado cuantas veces haga falta para realizar suficientes mediciones y así recuperar el estado del qubit con un determinado nivel de certeza. Veremos con mayor detalle en una próxima entrada que clonar estados cuánticos es imposible, un resultado elevado a la categoría de teorema de imposibilidad de clonación.

    Bien, Emilio sólo puede utilizar algún procedimiento ingenioso que implique el par entrelazado que había compartido previamente con Rebeca. Para ello hace interaccionar el qubit en su posesión con su mitad del par entrelazado, utilizando una puerta cNOT.

    En el circuito de la imagen a continuación, vemos cómo Emilio y Rebeca crean en primer lugar el estado entrelazado



    E se refiere al qubit de Emilio y R al de Rebeca.

    Después de la creación del para entrelazado, podemos representar el estado (producto tensorial) de los tres qubits como


    donde los dos primeros qubits están en posesión de Emilio y el último de Rebeca.

    Posteriormente, Emilio utiliza su parte del par entrelazado como target en una segunda puerta cNOT y el qubit | 𝜓 > que quiere enviar como control.


    Recordemos la actuación de una puerta cNOT: si el qubit de control está en estado |0>, nada cambia; si está en estado |1> el qubit target cambia. Recordemos además que el único qubit afectado por la segunda puerta cNOT es el correspondiente a Emilio. El nuevo estado queda de la siguiente manera:


    El siguiente truco consiste en hacer pasar el primer qbit de Emilio por una puerta de Hadamard


    El estado resultante puede entonces representarse como


    que reordenando términos se convierte en


    Llega el momento crucial. Podemos ver que si Emilio hace una medida de sus dos qubits y obtiene |00>, el qubit de Rebeca es de hecho el qubit que queríamos transportar. Sin embargo, Emilio podría obtener |01> y Rebeca tener que conformarse con el estado a|1> + b |0>. ¿Cómo podría entonces Rebeca recuperar | 𝜓 > en esas circunstancias ? Fácil, sólo tiene que aplicar una puerta X que intercambia los valores de las amplitudes. Dejo como ejercicio al lector percatarse de que, en los dos casos restantes, Rebeca tiene que aplicar las operaciones Z y ZX (primero una puerta X y a continuación una Z) respectivamente.
    ¿Por qué la operación de actuación de una puerta X seguida de una puerta Z se representa como ZX? Comprobar que ZX es distinto que XZ utilizando las matrices representativas de cada operación. Para los lectores que no quieran meterse con matrices, se puede demostrar de forma visual con la aplicación java de la esfera de Bloch y numéricamente con el simulador web

    Ahora ya estamos en condiciones de representar nuestro circuito de teleportación completo


    Donde podemos ver cómo Emilio realiza las mediciones que luego comunica a Rebeca como bits clásicos (líneas dobles). Sin embargo, este circuito tiene el handicap de utilizar las puertas X y Z como controladas por bits clásicos. Dicho de otra manera, la elección de qué puertas aplica Rebeca a su qubit dependerá de los resultados de las medidas de Emilio. Es lo que buscábamos, pero, en la línea del tipo de puertas que hemos estudiado, sería más elegante realizar el control con auténticos qbits dejando las mediciones como paso final. Eso se puede hacer formulando el siguiente circuito equivalente


    Podemos simular un circuito de teleportación de la siguiente manera (clic en la imagen para acceder al simulador)


    donde hemos reproducido un estado | 𝜓 > = a | 0 > +b | 1 > (creado por la puerta F actuando sobre el primer qubit) con |a|² = 0.75 y |b|² = 0.25 , es decir, con probabilidad de obtener 0 en una medida del 75%.

    Los lectores más avanzados también pueden utilizar la simulación de Wolfram Alpha para visualizar estados intermedios

    Quantum Teleportation from the Wolfram Demonstrations Project by Brad Rubin


    La teleportación por supuesto no implica necesariamente distancia espacial. Uno podría imaginar un sistema de teletransporte temporal o viaje al futuro de un qubit que ha sido destruido en una medición. Para ello, Emilio sólo tiene que medir su estado, poner el resultado en su blog de notas y esperar a que Rebeca pase por allí con su qubit y aprenda lo que tiene que hacer para recuperar un estado que fue destruido con la medición quién sabe si hace décadas.

    Es importante percatarse de que la teleportación implica la destrucción del qubit inicial. En caso contrario hubiésemos creado un sistema para copiar qubits, algo que veremos en posteriores entradas que es imposible. Tampoco, en ningún momento, podríamos utilizar la teleportación para enviar información a velocidad superlumínica, algo que detallaremos en la próxima entrada donde veremos cómo construir físicamente un circuito de teleportación y utilizarlo.

    2014-11-29 19:31 | Fisica | 0 Comentarios


    Cómo diseñar un circuito cuántico de teleportación I

    Tengo la impresión de que la mecánica cuántica se hace mucho más digerible cuando se estudia desde el punto de vista de la computación. En computación cuántica se parte del sistema cuántico más sencillo posible: el qubit (quantum bit) de la misma forma que en computación clásica partimos de la unidad de información más sencilla posible: el sistema de dos estados que conocemos como bit. Eso permite que hasta un alumno de secundaria pueda entender el funcionamiento general de los circuitos digitales e implementar algunas funciones interesantes.

    Un qubit tiene muchas implementaciones físicas posibles, siendo quizás el spin de una partícula y la polarización de un fotón las primeras que a uno le vienen a la cabeza. Esos sistemas tan sencillos pueden utilizarse para entender con mayor facilidad todas esas propiedades de la mecánica cuántica que nos parecen tan poco intuitivas, tales y como la superposición de estados, el entrelazamiento o incluso el principio de incertidumbre.

    Es precisamente a lo que me estoy dedicando estos días, utilizando uno de los libros de texto más prestigiosos sobre computación e información cuántica

  • Quantum Computation and Quantum Information por Michael Nielsen e Isaac Chuang

  • Y un artículo que intenta convencernos (aunque creo que sin demasiado éxito), que la computación cuántica es apta para introducirse en Bachillerato.

  • What we can learn about quantum physics from a single qubit

  • El objetivo de las tres primeras entradas será el diseño y la posible implementación física de uno de los circuitos cuánticos más sencillos a la vez que importantes: el de teleportación cuántica. Este circuito tiene además aplicaciones tremendamente interesantes a la hora de concebir protocolos criptográficos cuya seguridad esté garantizada por las propias leyes de la física.

    Aunque intentaré ser lo más pedagógico posible, no es mi objetivo, ni mucho menos, escribir una popularización. Dos ejemplos de intentos de popularización que quizás podrían interesar al lector como introducción pueden encontrarse en: El Tamiz, y Cuentos Cuánticos, dos blogs por otra lado muy recomendables.

    Asumiré que el lector que quiera continuar adelante tiene conocimientos básicos de electrónica digital a un nivel de 4º ESO y álgebra de matrices y números complejos a nivel de 2º de bachillerato, aunque las matemáticas tendrán un sustituto visual en la medida de lo posible.

    Para realizar algunos esquemas de circuitos clásicos y sus equivalentes cuánticos utilizaré este sencillo editor web

    Para representar circuitos cuánticos utilizaré la misma aplicación que utilizaron Nielsen y Chuang en su libro, además de este editor-simulador web para algunos ejemplos que el lector puede implementar fácilmente.

    Por último, para la representación visual de qubits y operaciones elementales sobre estos utilizando la esfera de Bloch, haré uso de una aplicación java creada por la universidad de Cincinnati

    ¿Qué es un qubit?

    En electrónica digital clásica tenemos cables que transportar bits. Los bits, como ya sabemos, pueden tomar los valores 0 ó 1 , que, en un circuito real, se implementa (simplificando la situación) introduciendo un voltaje de +5 V (nivel lógico alto equivalente a un valor lógico 1) y 0V para el nivel lógico 0. Esquemáticamente podemos representar un cable ideal como si se tratase de un transportador de bits en un estado que no cambia su valor.


    Aquí encontramos las primeras diferencia con un circuito cuántico. Un circuito cuántico no procesa bits sino qubits. Un qubit no es más que un estado de superposición cuántica que sólo después de una medida tomará alguno de los dos valores posibles 0 ó 1 (bits clásicos) definiéndose en algunos de los estados de la base computacional estándar | 0 > ó | 1 > respectivamente. Podemos así representar un qbit general | 𝜓 > como

    | 𝜓 > = a | 0 > + b | 1 >

    Siendo a y b en general números complejos conocidos como amplitudes, que además deben cumplir la condición de normalización

    | a |² + | b |² = 1

    La notación | 0 >, | 1 >, | 𝜓 ;> -- conocida como notación de Dirac -- en lugar de 0,1, 𝜓 tendrá sentido a medida que vayamos introduciendo operaciones como | 𝜓 >| 𝜓 > por ejemplo frente a < 𝜓 | 𝜓 >, aunque en este momento no debería suponer ningún problema para el lector que sólo tiene que interpretarlo como una denominación conveniente que damos a los estados del qubit para distinguirlos de los bits clásicos. Podemos así representar un canal cuántico básico para transportar un qubit de la siguiente forma


    O en notación estándar de circuitos cuánticos


    La línea no tiene en este caso que representar necesariamente un cable. Podría tratarse simplemente de una línea de tiempo o de una partícula como un fotón cubriendo una determinada distancia. De hecho, no es siempre trivial poder preservar el estado de un qubit en un circuito cuántico debido al fenómeno de la decoherencia (análogo del ruido en un canal cuántico)

    La notación podría empezar a espantar a algunos lectores, por lo que sería interesante contar con alguna herramienta apropiada de visualización. La herramienta estándar es una esfera unitaria conocida como esfera de Bloch, de tal manera que un qubit puede representarse como un vector (o un punto en la esfera si quieren simplificar) utilizando coordenadas esféricas [1]


    Vemos que los estados | 0 > y | 1 > representan los vectores que apuntan verticalmente hacia arriba y abajo en el eje z --o bien polo norte y sur si el lector lo encuentra más intuitivo. Un qubit arbitrario quedará representado por las coordenadas (𝜃,𝜙) de forma similar a cómo localizamos un punto sobre la superficie terrestre utilizando la latitud y la longitud. Esos dos ángulos son suficientes para definir un qbit general, tal y como se explica en la nota [1]

    Es justo con la forma de la expresión del qubit donde empieza a actuar la extraña lógica cuántica. En primer lugar no sabemos en ningún momento qué bit clásico se corresponde con el estado cuántico del qubit o siquiera si esa pregunta tiene algún sentido --Es precisamente esa propiedad la que permite a los circuitos cuánticos hacer cálculos de manera cualitativamente distintas a los circuitos clásicos. Lo más que podemos hacer es realizar una medida para definir el estado del qubit en uno de sus dos posiblidades | 0 > ó | 1 > y a los que asignamos los bits clásicos 0 y 1 como resultados de la medición.

    La representación estándar de la realización de una medición sobre un qubit es la siguiente


    La regla es que la probabilidad de obtener uno u otro resultado viene dada por el cuadrado del módulo de la amplitud -- la conocida como regla de Born--. Así, en un qubit general escrito como | 𝜓 > = a | 0 > + b | 1 > tenemos una probabilidad |a|² de obtener 0 y |b|² de obtener 1 después de realizar la medida.

    Así, un estado sencillo del tipo


    cuya representación de Bloch sería un vector en la dirección +x


    nos daría un 50% de probabilidades de obtener 0 ó 1 después de realizar una media puesto que


    Ya hemos dicho que un qubit podría implementarse físicamente (y así se ha hecho) con fotones polarizados o partículas con spin por ejemplo. Pero iremos más tarde con eso. Ahora centrémonos en implementar puertas cuánticas para poder diseñar circuitos.

    Puertas cuánticas de una entrada

    En electrónica digital clásica podemos definir básicamente una sola puerta de una entrada no trivial, la puerta NOT, que cambia el valor del bit de entrada según se representa en la tabla de verdad a continuación:


    En el caso de un qubit, podemos definir un análogo de la puerta NOT -- conocida por razones históricas como puerta X -- cuya acción intercambia los valores de las amplitudes


    que en notación estándar de circuitos cuánticos representamos como


    Y aunque no estemos acostumbrados a hacerlo en electrónica digital clásica, una puerta lógica cuántica puede entenderse como una transformación -- representada por una matriz 2 x 2 en este caso -- de tal manera que el vector formado por la amplitudes [a,b] se transforme en un vector de salida [b,a] de la siguiente forma:


    La matriz


    definirá nuestra primera puerta cuántica X análoga a la puerta NOT clásica. En esta notación podemos ver cómo actuaría sobre los estados | 0 > y | 1 >


    Para aquellos que no gusten de los cálculos matriciales, podemos visualizar la transformación producida por X como una rotación de 180º en torno al eje X del vector que representa al qubit en la esfera de Bloch.


    El lector no tiene que ser especialmente perspicaz para darse cuenta que, de esta manera y a diferencia de los circuitos digitales clásicos, podremos definir fácilmente más tipos de puertas cuánticas de una entrada. De hecho, podremos definir infinitas matrices (puertas) con la única condición de que sean unitarias. Así, dos ejemplos que nos serán muy útiles de puertas cuánticas de una entrada son la Z y la H (Hadamard)


    La puerta de Hadamard puede resultar más intuitiva si cambiamos la base computacional. En lugar de tomar la base estándar | 0 > y | 1 > como base de representación de un qubit, tomamos una nueva base de representación | + > y | − > definida como



    Así, podemos considerar la transformación de la puerta como una simple sustitución de una base por otra:

    | 0 > → | + > ; | 1 > → | - >


    La operación de la puerta se puede entender visualmente como una rotación de 90º alrededor del eje y seguida una rotación de 180º en torno al eje x. En el gif a continuación podemos ver en la esfera de Bloch cómo el vector de estado | + > se transforma en el vector | 0 >


    Veremos la importancia de este hecho en la formación de estados de Bell entrelazados, imprescindibles en la implementación de nuestro circuito de teleportación.

    Sin embargo, en este punto, recomiendo al lector que compruebe su comprensión de las ideas manejadas hasta este momento con algunos ejercicios que debería intentar haciendo uso de la aplicación java de la esfera de bloch y el simulador de circuitos

    1. Representar la transformación que produce la operación Y en una esfera de Bloch. ¿A qué tipo de rotación es equivalente? Cuál es resultado de Y| + >, es decir, la operación de la puerta Y aplicada al vector de estado en la dirección x.

    2. ¿Cuál es el resultado de aplicar la misma puerta dos veces una a continuación de la otra?

    3. Simplificación de circuitos: ¿Por qué única puerta equivalente podemos sustituir los circuitos HXH y HZH?

    4. ¿Cuál es el resultado de aplicar una puerta X y una Z sucesivamente a un qubit general | 𝜓 > = a | 0 > + b | 1 > ?

    En el próximo post veremos cómo definir una única puerta de dos entradas -- controlled-NOT -- que junto, con las de una entrada, nos permitirán construir cualquier circuito cuántico. Empezaremos con un circuito muy sencillo para crear estados de Bell entrelazados que nos servirá como parte de la entrada de nuestro circuito de teleportación cuántica.



    [1]La idea de la esfera de Bloch parte del hecho de que | 𝜓 > y el estado multiplicado por un factor de fase global e^(i γ) | 𝜓 > representan el mismo estado físico, por lo que podemos representar un qubit general como



    Cómo diseñar un circuito cuántico de teleportación II

    2014-11-24 20:21 | Fisica | 0 Comentarios


    El mito 100% renovables



    El pasado 27 de junio se inauguraba un proyecto de especial importancia para la industria de las renovables y para un pequeña isla del archipiélago canario de poco más de diez mil habitantes. Se trata de la Central Hidroeólica de El Hierro, un intento de crear un sistema de almacenamiento hidráulico para abastecer la isla con energía eólica. La noticia ha sido recibida con mucho entusiasmo desde muchos sectores, y he leído en muchos medios que se trata de la primera isla del mundo auto-abastecida con energía renovable al 100%.

    Pues tengo que convertirme en el indeseado aguafiestas que va a explicar que El Hierro no es la primera isla en intentar el abastecimiento de renovables y que no ha conseguido, al menos de momento, el publicitado 100% renovables. Analizaremos detalladamente los tres casos de islas que han reivindicado el autoabatecimiento 100% renovables y extraeremos algunas enseñanzas con el objetivo de que los lectores puedan valorar con mayor criterio las noticias relacionadas con las posibilidades reales de las fuentes de energía renovable.

    Seguir leyendo en Naukas

    2014-07-22 01:10 | Energia, Ecologia | 0 Comentarios


    De las botellas Jefferson al atún de Fukushima

    El 5 de diciembre de 1985, Christie’s subastaba la botella de vino más cara de la historia. No tenía etiqueta, pero en el cristal se podían leer las iniciales Th.J., la palabra Lafitte y la fecha de 1789. Todo apuntaba a que podría tratarse de una de las botellas que periódicamente se enviaban desde las bodegas de Lafite en Francia para consumo personal de Thomas Jefferson.



    Continuar leyendo en Cuadernos de Cultura Científica...

    2014-02-07 19:41 | Riesgo, Nuclear | 0 Comentarios


    Debate educativo en base a las evidencias

    El debate educativo en España no destaca precisamente por su calidad. La mayoría de los análisis en la prensa suelen estar basados en meras opiniones personales y evidencia anecdótica y, en el mejor de los casos, en una interpretación del informe PISA que considera casi exclusivamente el ranking por países.

    Es cierto que España no ocupa un lugar destacado, pero nuestro objetivo en esta entrada será tratar de convencer al lector de que un análisis adecuado de los datos indica que el sistema educativo español no es un desastre ni mucho menos y que en algunos aspectos está incluso por encima de la media de la OCDE. Para acabar insistiremos en la necesidad de una legislación y unas prácticas educativas en base a la evidencia.

    Seguir leyendo en Naukas

    2014-01-07 23:31 | Educacion | 0 Comentarios


    Conservación del momento en la Costa de los Esqueletos

    El 5 de septiembre de 1909, el carguero Eduard Bohlen de más de 2000 toneladas y casi 100 metros de eslora se encontraba navegando bajo una espesa niebla cerca de la Costa de los Esqueletos en Namibia con rumbo perpendicular a la costa. Los restos del naufragio aún pueden verse a medio kilómetro tierra adentro.

    Restos del Eduard Bohlen en la Costa de los Esqueletos

    ¿Cómo es posible que haya llegado tan lejos? La respuesta es pura y simple conservación del momento.

    Supongamos que el casco del barco desplazó la arena con una velocidad similar a la de su movimiento. Eso implicaría que la masa de arena desplazada en su movimiento por la parte del casco inmersa en la arena debió ser similar a la de esa parte del casco. Podemos elegir una sección arbitraria del casco de superficie S de tal manera que su masa será la densidad por el volumen (= sección x eslora).



    Similarmente para la arena tendremos



    donde el volumen de arena removido es igual a la sección por el desplazamiento del carguero.

    Igualando tendremos



    Como vemos, la distancia recorrida por el barco tierra adentro (L) no es más que la relación densidades del material del casco y la arena veces la longitud del casco (l).

    El acero tiene una densidad de unos 8 g/cm³ mientras que la de la arena está en el rango 1,50-1,80 g/cm³. Lo que nos da un rango de distancia recorrida de 400-500 m perfectamente compatible con la distancia de los restos del Eduard Bohlen.

    Una cosa que llamará la atención a los lectores más avispados es que no hayamos tenido en cuenta la velocidad que traía el carguero al adentrarse en la costa. La idea es que el casco retirará la arena más rápidamente si viene a mayor velocidad y más lentamente si la velocidad es menor de tal manera que la distancia recorrida será similar.

    Por supuesto esta forma de razonar ya fue utilizada por el mismísimo Isaac Newton en su estudio del movimiento de objetos dentro de fluidos en los Principia. George Gamow cuenta una anécdota curiosa en su libro Biografía de la física:

    Es interesante que la longitud de penetración no dependa de la velocidad inicial del proyectil (siempre que su velocidad sea suficientemente elevada). Este es el hecho que confundió a los expertos militares de los Estados Unidos que estaban haciendo caer desde diferentes alturas los proyectiles explosivos que se suponía penetrarían profundamente en el suelo antes de estallar. La penetración no parece modificarse con la altura desde la cual caían los proyectiles (por tanto, chocando con el suelo a diferentes velocidades) y los expertos estuvieron rascándose la cabeza hasta que alguien les señaló la teoría sobre esta cuestión contenida en los Principia de Newton.

    2013-06-24 23:44 | Fisica | 2 Comentarios


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